В? А, існує:
? ==? ==;
? ==? ==
== А? В=В? А, тобто дані матриці
комутуючі.
. Квадратна матриця
Елементи квадратної матриці називаються діагональними; ці елементи розташовані на головній діагоналі Марици. Квадратна матриця, у якої всі елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють 0, тобто матриця виду
називається діагональною і позначається. Якщо в діагональної матриці всі елементи, то матриця називається одиничною і позначається E або I (відповідно):
Для будь матриці A розміру справедливі рівності
Кожній квадратній матриці можна постав в соответствіечісло (елемент поля K), зване її визначником або детерминантом.
Определителем другого порядку матриці називається число, яке визначається за правилом:
== -, (1)
т. е. визначник другого порядку є число, рівне добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.
Приклад 7.
Необхідно пам'ятати, круглі або квадратні дужки використовують для позначення матриць, а вертикальні лінії використовуються для позначення визначника. Матриця це таблиця чисел, а визначник це число.
Розглянемо визначник третього порядку: визначником третього порядку квадратної матриці називається число
? == Det A ==
=+ + ---, (2)
т. е. кожний доданок у формулі є твір елементів визначника, взятих по одному і тільки одному з кожного рядка і кожного стовпця. зручно використовувати правило трикутників (правило Саррюса):
Приклад 8. Знайти визначник
==
==
=.
Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю; в іншому випадку матрицю називають виродженою. Для будь невиродженої матриці A існує єдина обернена матриця визначається рівністю Зворотній матриця перестановочне з вихідною: Верна формула.
. ЗВОРОТНІЙ МАТРИЦЯ
3.1 Поняття зворотної матриці. Одиничність зворотної матриці
Поряд з числом в теорії чисел визначають число, протилежне йому таке, що, і число, зворотне йому таке, що. Наприклад, для числа 7 протилежним буде число
(- 7), а зворотним є число. За аналогією в теорії матриць введено поняття протилежної матриці, її позначення Зворотною матрицею для квадратної матриці порядку називається матриця, якщо виконуються рівності
, (1)
де - одинична матриця порядку.
Як зазначалося вище, зворотна матриця існує тільки для квадратних невироджених матриць. Невироджених матриця А має єдину зворотну матрицю. Доведемо це твердження.
Нехай для матриці існує дві зворотні матриці,,
тобто
і.
Тоді =? =? ()=
=(?) ===.
Що й потрібно було довести.
Обчислимо визначник зворотної матриці. Так як визначник добутку двох матриць і однакового порядку дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто, значить, твір двох невироджених матриць є невироджених матриця.
Виходячи з цього можемо зробити висновок...
