b> 1.2 Дії над матрицями
Розглянемо дії над матрицями, маючи на увазі, що всі матриці розглядаються над одним полем K.
Найважливішими операціями над матрицями є додавання матриць, множення матриць на число (елемент поля K), множення матриць.
Сумою A + В двох прямокутних матриць A і B одного розміру називається матриця розміру якої дорівнює сумі відповідних елементів доданків.
Твором матриці A на число називають матрицю, еле evменти якої виходять з елементів матриці A множенням на
. Ці операції мають такими властивостями:
.
Множення визначається тільки для такої пари матриці, у якої число стовпців першого співмножники рачна числу рядків другого співмножники. Твір AB матриці розміру на матрицю розміру є - матриця , елемент якої, стоїть в i- тому рядку і k- тому стовпці, є сума добутків елементів i- того рядка матриці A k- того стовпця матриці B (правило множення рядка на стовпець):
.
Множення матриць має такі властивості:
.
Справедливі також правила
,
Твори AB і ВА одночасно визначені тільки для квадратних матриць одного порядку, причому твір залежить від пордка сомножетелей, тобто рівність AB=BA може не виконуватися:
Наприклад,
Якщо АВ=ВА, то матриці А і B називають перестановки (коммутирующими). ??
Наведемо приклади дій над матрицями:
Приклад 1.
Нехай матриця А =, тоді 5А ==.
Приклад 2. Знайти суму і різницю матриць А і В.
=, =,
тоді=+ ==,
=- ==.
Приклад 3.Найті твір матриць А і В.
=, =,
? ===.
Приклад 4.
=, =.
Рішення
). матриця А має порядок 2? 3, а матриця В - порядок 3? 1, значить суми і різниці матриць не існує;
). як матриці А і В узгоджені, тому твір А? В існує:
? =? ==,
Матриці і неузгоджені, тому твори матриць В? А не існує
Приклад 5.
=, =.
Рішення
). + ===,
).- ===;
3). так як матриці узгоджені, твір матриць А? В і В? А, існує:
? ==? ==;
? ==? ==
=?, значить, матриці А і В некоммутірующіе.
Приклад 6.
=, =.
Рішення
) + ===,
) - ===;
) матриці узгоджені, значить, твір матриць А? В і...
