підмножиною кватерніонів [4], уявні одиниці кватернионов НЕ комутативні по множенню.
Закон множення уявних одиниць заданий таблицею 1.3
(1.3)
Даний закон множення задає праве твір кватернионов. Також може бути визначено ліве твір кватернионов. Надалі будемо вважати, що твір кватернионов завжди вибирається правим.
Додавання і віднімання кватернионов виконується по компонентно, як показано у формулі 1.4
, (1.4)
де і компоненти кватерниона і;
- кватерніони одиниці кватернионов і.
Для кватерниона визначені нульової і одиничний кватерніони [5] які задаються за формулою 3.5:
, (1.5)
До алгебраїчним властивостям кватернионов відносяться:
- Кватерніони комутативні по додаванню [6], формула 3.6
. (1.6)
- Кватерніони асоціативні по додаванню [6], показано на формулі 3.7
. (1.7)
- Дистрибутивних формула 1.8
(1.8)
- Кватерніони НЕ комутативні по множенню, це показано у формулі 1.9
(1.9)
- Кватерніони асоціативні по множенню як показано у формулі 1.10
(1.10)
Оскільки кватерніони НЕ комутативні по множенню, операція ділення для них задається відмінно від завдання поділу для комутативних алгебр, як для дійсних чи комплексних чисел [3]. Для кватернионов операція розподілу задається як операція множення на дільник. Відповідно розрізняють лівий і правий подільники.
Кватерніони зворотний заданому, визначається формулою 3.11
(1.11)
Оскільки для кватернионов існують два дільника - лівий і правий, то для них також існують два зворотних [6] - лівий зворотний і правий зворотний. В силу того, що кватерніони асоціативні по множенню, їх ліві і праві зворотні збігаються.
Як і для комплексних чисел, для кватернионов визначена операція сполучення. Сполучений кватерніон [2] утворюється шляхом зміни знаків у всіх компонентів при уявних одиницях і має 1.12
(1.12)
Твір кватерниона на зв'язаний йому є дійсне число, рівне квадрату модуля кватерниона, показаної на формулі 3.13
(1.13)
Для кватернионов векторне і алгебраїчне сполучення збігаються. У попередньому рівнянні було використано сполучення в якості алгебраїчного.
Незважаючи на те, що для кватернионов алгебраїчне і векторне сполучення збігаються, їх слід розрізняти для гіперкомплексних чисел взагалі.
Знайдемо кватерніон, зворотний заданому використовуючи формулу 1.14:
(1.14)
Помножимо ліву і праву частини на кватерніон, сполучений до q і отримаємо вираз виду 3.15
(1.15)
В даному випадку також використовувалося алгебраїчне сполучення. Взагалі кажучи, даний спосіб знаходження зворотного числа працює для будь-яких гіперкомпексних чисел [7], але не для будь-яких операція алгебраїчного сполучення може бути визначена також просто, як для кватернионов і комплексних чисел. Як і для інших алгебр, для кват...
