між комплексними числами і двовимірної геометрією, він протягом багатьох років намагався винайти схожу алгебру, яка грала б аналогічну роль в тривимірній геометрії. Те, що він шукав, на сучасній мові називалося б тривимірної нормованої алгеброю з діленням. Причина його утруднень полягала в тому, що тривимірної нормованої алгебри з поділом не існує. Але його багаторічні муки були винагороджені.
жовтня 1843, прогулюючись з дружиною уздовж Королівського каналу по дорозі на засіданні Королівської ірландської академії в Дубліні, він здійснив епохальне відкриття. Пізніше він згадував: «Можна сказати, я тут і зараз відчув, як електричний ланцюг думки замкнулася, а заблискати іскри виявилися фундаментальними співвідношеннями показаної у формулі 1.1 представленими саме в тому вигляді, в якому я їх з тих пір використовував».
, (1.1)
Одна з причин, по якій ця історія настільки добре відома, полягає в тому, що з цього моменту і до кінця свого життя Гамільтон був одержимий ідеєю дослідження кватернионов і застосування їх у геометрії. Протягом деякого часу кватерніони дійсно були в моді. У Дубліні вони в обов'язковому порядку входили в програму іспитів, а в деяких американських університетах кватерніони були єдиним випромінювати розділом вищої математики. Багато чого з того, що ми зараз робимо зі скалярами і векторами тривимірного простору, робилося тоді за допомогою речових і уявних кватернионов. Виникла ціла школа «кватерніонщіков», яку після смерті Гамільтона очолювали Пітер Тейт з Единбурга і Бенджамін
Пірс з Гарварда. Тейт написав про кватернионах вісім книг, в яких особлива увага Вільям Роуен Гамільтон приділялася додаткам до фізики. Коли Гіббс винайшов сучасні позначення для скалярного і векторного добутків, Тейт обізвав їх «виродками-гермафродитами» [2].
Розгорнулася гаряча полеміка, в ході якої такі знаменитості, як Кельвін і
Хевісайд, вибухали убивчими висловами на адресу кватернионов. Зрештою кватерніони були переможені і придбали кілька погану репутацію, від якої вони повною мірою так і не позбулися.
Додамо, що хоча Гамільтон дійсно був першим, хто побудував кватерніони як алгебру, у кватернионов є і більш рання історія, що починається з відкриття Ейлером в 1748 році тотожності чотирьох квадратів. Крім того, О. Родрігес в своїх дослідженнях параметризрвані загальний поворот за допомогою чотирьох чисел, що є фактично координатами відповідного кватерниона. Це дозволяє розглядати його як передвісника ідей Гамільтона, оскільки приводимое їм правило множення збігається з формулою Гамільтона для твори двох кватерніонів.
.2 Визначення
кватернионами називається гіперкомплексні число, що має 4 уявних одиниці. Компоненти при уявних одиницях вибираються з алгебр, які є полями. У нашому випадку компонентами кватерниона будемо вважати дійсні числа. [3] Загальновживана форма запису кватерниона є формула 3.2
, (1.2)
де - сам кватерніон;
- компоненти кватерниона;
- Кватерніони одиниці.
Компонента називається дійсною частиною кватерниона, а трійка уявною частиною кватерниона. Часто в силу властивостей уявних одиниць кватерниона
дійсну частину називаю скалярною а уявну-векторної.
На відміну від комплексних чисел, які є ...
