ернионов зберігається властивість мультипликативности модуля як показано у формулі 1.16
(1.16)
.3 Заміна кватернионов матрицями
Уявні одиниці кватернионов можливо замінити на набір чотирьох матриць, що задовольняють таблиці (1.1.2). Таких наборів може бути знайдено багато.
Як і кватерніони, матриця не комутативні по множенню, але асоціативні по множенню, для них також визначені операції покомпонентного додавання, одинична і нульова матриці [4]. Наведемо як приклад один з них 1.17.
(1.17)
Уявні одиниці в матрицях є звичайні уявні одиниці комплексних чисел. Виробляючи заміну уявних одиниць кватернионов матрицями, ми збережемо всі властивості кватернионов. Відзначимо, що наведене матричне подання є комбінація одиничної матриці і матриць Келі. Багатьом людям набагато звичніше оперувати набором матриць, ніж набором уявних одиниць, оскільки в XX столітті традиційну освіту тяжіє більше до матриць, ніж до уявних одиницям [8]. При цьому завжди можливе повернення до набору уявних одиниць, що є більш наочним при оперуванні з векторами. Для матриць ж поняття вектора дещо інше, зазвичай це матриця-стовпець, і легко змішати в купу абсолютно різні поняття.
.4 Геометрична інтерпретація
Тривимірність уявної (векторної) частини кватерниона дуже вдало підходить до спостережуваного нами тривимірному простору. При використанні кватернионов в задачах обертання радіус-вектор точки в просторі зіставляється з крапкою в просторі кватернионов по компонентно [9] і показаного у формулі 1.18:
, (1.18)
де - радіус вектор;
,, - радіус вектори на осі відповідно.
При цьому дійсну (скалярну) частина кватерниона вважають рівною нулю. Як і у випадку застосування векторної алгебри, при застосуванні кватернионов також можна використовувати квадрат модуля вектора, скалярний і векторний добуток векторів використання даних операція [9] показано на формулі 1.19:
, (1.19)
де - дійсна частина кватерниона;
- уявна частина кватерниона;
- скалярна частина кватерниона;
- векторна частина кватерниона.
Другим застосуванням кватернионов в геометричній інтерпретації є використання кватерниона у вигляді оператора перетворення і множення кватерніонів в якості впливу оператора перетворення на радіус-вектор точки [5]. При фізичному моделюванні кватернионами радіус-вектора і оператору перетворення приписується розмірність фізичної величини, метри і безрозмірно відповідно. Також при оперуванні просторовими перетвореннями будуть використовуватися величини, що мають розмірність плоского кута. Слід мати на увазі, що дана методика розглядає тільки просторову частину спостережуваного простору, і тільки в евклідовому наближенні. [9] Так само можлива при вирішення завдань використовувати евклидова простору, причому без застосування додаткових проміжних проекцій або умовних кутів, з рішенням прямий і зворотної задачі. Багато теоретиків і просто любителі математики з незадоволенням зустрічають відмову від застосування вивертких рішень з дотепними проміжними проекціями, але є завдання, коли треба просто показати рішення, а не знаходити цікаві способи рішення.
.5 Модуль
Модуль кватерниона має вигляд 1.20:
, (1.20)
...
