но по х, у припущенні, що у=const (тобто у зберігає незмінне значення).
Визначимо функцію ц (y) так, щоб задовольнялося і рівність
Q (x, y).
Продифференцируем функцію
U (x, y)=
по у:
=
Використовуючи теорему про диференціюванні інтеграла із змінною верхньою межею і рівність
Q (x, y),
запишемо:
Q (x, y) =.
Застосовуючи співвідношення
,
отримуємо:
.
Обчислимо останній інтеграл:
-Q (x0, y),
а, значить,
отже
Підставляючи ц (y) в U (x, y) =, отримуємо остаточно:
U (x, y) =,
c=const.
Теорема 2.3 Нехай у прямокутнику M: a
Функції P (x, y) і Q (x, y) неперервні разом з їх приватними похідними
і,
причому всюди в M виконується умова і Q (x, y) не звертається в нуль. Тоді через кожну точку (x0, y0) прямокутника M проходить одна і тільки одна інтегральна лінія рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0.
Доказ.
Як було щойно зазначено, в прямокутнику M існує функція z (x, y), повний диференціал якої дорівнює лівій частині
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0.
Але так як Q0, то рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
можна переписати у еквівалентом вигляді:
P (x, y) + Q (x, y) y=0
або з урахуванням рівностей
, Q так:
Тому функція y (x) розв'язує рівняння
P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0
тоді і тільки тоді, коли z (x, y (x))? C
Цьому рівнянню, якщо C? z (x0, y0), не може задовольняти лінія, що проходить через точку (x0, y0). Якщо ж C=z (x0, y0), то з теореми про неявну функції випливає, що рівняння z (x, y (x))? C визначає лінію, що проходить через точку (x0, y0), і притому тільки одну. Теорема доведена.
Лемма 2.1 Будь-яка безперервна на безлічі
функція f (x, y) рівномірно безперервна по x на [x0-, x0 + і по y на [y0-, y0 +.
Лемма 2.2 Якщо послідовність неперервних на [функцій yn (x) рівномірно на [сходиться до функції y (x), то функція y (x) також неперервна на [.
Лемма 2.3 Якщо функція f (x, y) рівномірно неперервна в G і послідовність {yn (x)} рівномірно сходиться до y (x) на, то послідовність f [x, yn (x)] рівномірно сходиться до f [ x, y (x)] на [x0-, x0 +.
Лемма 2.4 Якщо функція f (x, y) рівномірно неперервна в G і
(x)=y (x) рівномірно на [x0-, x0 +, то
для x0, x [x0-, x0 +.
Теорема 2.4 Нехай функція f (x, y) неперервна на множині
і задовольняє умові Ліпшиця по y. Нехай М є верхньою межею для на G, а. Тоді задача Коші y=f (x, y), y (x0)=y0 має на відрізку [x0 -, x0 +] єдине рішення.
Доказ.
Насамперед покажемо, що задача Коші еквівалентна інтегрального рівняння
y (x)=y0 +
Справді, нехай диференціюється функція y (x) розв'язує інтегрального рівняння
y (x)=y0 +.
Тоді, очевидно, y (x0)=y0. Диференціюючи
y (x)=y0 +, отримаємо.
Зворотно, нехай...
