y (x) розв'язує задачі Коші
y=f (x, y), y (x0)=y0 на [x0, x].
Інтегруючи це тотожність, одержимо
,
отже
y (x)=y0 +
і y (x) розв'язує рівняння
y (x)=y0 +.
Поставимо своєю метою визначення інтегральної кривої, що виходить з точки (x0, y0) і йде в бік зростання x> x0. Для x
Вибір природний. Дійсно, з одного боку є необхідним вимога. З іншого боку, вимога обумовлена ??тим, що якщо y=y (x) є рішення задачі Коші на [x0, x0 +, то з умови випливає, що | y (x)-y0 | (x-x0), а ця кордон не перевершує b тільки при. x-x0
Застосуємо метод послідовних наближень. В якості нульового наближення рішення на [x0, x0 +] візьмемо
y (x) y0. y1 (x)=y0 +
Припустимо, що yk (x) визначено на [x0, x0 +, безперервно і задовольняє нерівності
| yk (x)-y0 |, k=0,1, .., n.
Покладемо
yn +1 (x)=y0 +.
Так як функція f [x, yn (x)] визначена і неперервна на [x0, x0 +], те ж саме вірно і для yn +1 (x).
Ясно також, що
.
Отже, всі функції y1 (x), y2 (x), ... визначені і неперервні на [x0,
x0 +] і | yi (x) - y0 |.
Доведемо по індукції, що
(2.1n)
=0,1, ..., де L - постійна Ліпшиця для. Ясно, що (2.10) вірно. Припустимо, що вірні співвідношення (2.11), (2.12), ..., (2.1n - 1).
З
yn +1 (x)=y0 +
при n отримаємо
Розглянемо ряди
Другий з цих рядів, як відомо, сходиться і в силу (2.1n) є мажорірующім для першого. У свою чергу третій ряд мажорірует другий. Тому перший ряд сходиться рівномірно. Але його часткові суми:
Sn +1 (x)=y0 + y1-y0 + ... + yn-yn - 1=yn (x).
Значить послідовність Sn +1 (x)=yn (x) сходиться рівномірно при до деякої функції y (x). Функція y (x) по лемі (2.2) неперервна на [x0, x0 +]. За ЛЕММА (2.1) та (2.3) функції f [x, yn (x)] рівномірно прагнуть до f [x, y (x)]. За лемі (2.4) в рівності
yn +1 (x)=y0 +
можна перейти до межі під знаком інтеграла, і ми отримаємо
y (x)=y0 +.
Отже, y (x) - рішення задачі Коші на [x0, x0 +].
Доведемо його єдиність. Нехай y=z (x) - будь-яке рішення задачі Коші на
[x0, x0 +]. z (x)=y0 +
Використовуючи індукцію, доведемо оцінку
, x0 (2.2)
З yn +1 (x)=y0 + і z (x)=y0 + слід
Переходячи в (2.2) до межі при n, отримуємо
| y (x) - z (x) Теорема доведена.
3. Алгоритм рішення рівняння в повних диференціалах
1. Спочатку переконаємося, що диференціальне рівняння є рівнянням в повних диференціалах, використовуючи необхідна і достатня умова:
2. Потім запишемо систему двох диференціальних рівнянь, які визначають функцію u (x, y):
3. Інтегруємо перше рівняння за змінною x. Замість постійної C запишемо невідому функцію, залежну від y:
4. Диференціююч...
