1. Д.П.: Продовжимо AC на AM 1=OC і BD на DN=OB.
2. Розглянемо? OMN,? NOM=90 °, тоді за теоремою Піфагора в? MON MN=10.
. Постоїмо: AE ^ MN, DF ^ MN, OK ^ BC.
4. ? AME =? KOC і? DFN =? BOK (по II ознакою)? ME=KC, FN=BK? MN=BC + AD=a + b=10? MN=10/2=5.
Відповідь: MN=5.
1.6 «Ознаки рівності прямокутних трикутників, властивості паралельних прямих»
1 . Д.П.: Через т. B проведемо пряму EM 1 | | AC
2. Через т.C проведемо EN 1 | | BD.
3. Через т. D проведемо пряму N 1 F | | AC.
4. Через т. A проведемо пряму EM 1 | | BD.
. Одержаний чотирикутник M 1 EN 1 F - прямокутник (EM 1 | | AC, M 1 F | | BD і AC ^ BD? M 1 F ^ N 1 F ) EN 1=M 1 F=6 і EM 1=N 1 F=8, по теоремі Піфагора діагональ прямокутника M 1 N 1=10.
6. Нехай BC=a, AD=b з рівності прямокутних трикутників М 1 ВК і ADF M 1 K=AD=b. З рівності прямокутних трикутників ВСО і КDN 1 KN 1=BC=a.
7. M 1 K + KN 1=M 1 N 1=a + b? MN=M 1 N 1/2=5
Відповідь: MN=5.
2. Методи, засновані на подобі трикутників.
2.1 «Подібність трикутників». [1, п. 59]
1. ? BOC ~? AOD (по 2-м кутах? BOC =? AOD=90 ° і? CBO =? ADO як навхрест лежачі при BC | | AD, BD - січна) y=4/3x, x < 3 (половини AC)
2. За теоремою Піфагора:? AOD: AD =? (8-х) 2 + (6-у) 2,=4x / 3? AD =? 25/9x 2 - 100/3 +100.
3. ? BOC: BC=5x / 3 (по т.Піфагора).
4 . MN=(AD + BC) / 2, підставимо: AD =? 25/9x 2 - 100/3 +100 і BC=5x / 3 отримаємо: 3l 2 - 5lx +25 x - 75=0. MN=25x2-12 (25x - 75)=25 (x - 6) 2, MN=(10x - 30) / 6=5x/3-5 < 0 - сторонній корінь, MN=(5x - 5x +30) / 6=5
Відповідь: MN=5.
2.2 «Коефіцієнт подібності трикутників». [1, п. 59]
1. ? BOC ~? AOD 8-х=kx
6 - y=ky=8 / k +1=6 / k +1 (k - коефіцієнт подібності)
2. Розглянемо? BOC і? AOD. За теоремою Піфагора BC =? X 2 + y 2, AD =? (8-х) 2 + (6-у) 2
3. MN=(AD + BC) / 2 підставимо x і y: MN =? (8 лютого / (k +1)) + 6 2 / (k +1)) * (k +1)) / 2 =? 100/2=5
Відповідь: MN=5.
2.3 «Метод тригонометричної заміни». [7].
1. ? BOC ~? AOD (? CBO =? ADO - навхрест лежачі при BC | | AD (за визначенням трапеції) і BD-сек.)? x / (8-x)=a / b? a + b=8a / x. 2. MN=(a + b) / 2=4a / x.
3. х / (8-х)=у / (6-у), то х / у=4/3.
4. ? BOC: sin a=х / а, tg a=x / y=4/3, sin a=4/5? MN=4/sin a=5.
В...
