ивно і антисиметричного і, отже, є відношенням нестрогого порядку.
Теорема 1.3. Перетин довільної (непорожній) сукупності підгруп групи G є підгрупою групи G .
Група називається циклічною, якщо вона породжується одним елементом (одноелементна безліччю).
Прімери. 1. Нехай R +=(R, +, -) - адитивна група дійсних чисел. Безліч Q раціональних чисел є підмножина множини R замкнуте щодо головних операцій групи R +. Отже, алгебра Q =(Q, +, -) аддитивная група раціональних чисел, є підгрупою групи R .
2. Нехай R *=(R *,, - 1) - мультиплікативна група дійсних чисел. Безліч Q * відмінних від нуля раціональних чисел є підмножина множини R замкнуте щодо головних операцій групи R +. Отже, алгебра
Q *=(Q *,, - 1) мультиплікативна група раціональних чисел, є підгрупою групи R *.
1.3 Гомоморфізми груп
Відповідно до визначення гомоморфізму алгебр і з тим, що групи - окремий випадок алгебр, дамо наступні визначення.
Нехай G =(G,, - 1) і H =(H,, - 1) - мультиплікативні групи.
Кажуть, що відображення h безлічі G в H - зберігає головні операції групи G якщо виконуються умови:
(1) h (ab)=h (a) h (b) для будь-яких a, b з G;
(2) h (a - 1)=(h (a)) - 1 для будь-якого a з G.
Гомоморфизмом групи G в групу H називається відображення безлічі G в (на) Н, що зберігає головні операції групи G . Гомоморфізм групи G на H називається епіморфізм.
Гомоморфізм h групи G на групу H називається ізоморфізмом, якщо h є ін'ектівним відображенням множини G на H. Групи G і Н називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм групи G на Н .
Запис G Н означає, що групи G і Н ізоморфні.
Гомоморфізм h групи G до групи H називається Мономорфизм або вкладенням, якщо h є ін'ектівним відображенням безлічі G в H.
Гомоморфізм групи G в себе називається ендоморфізм групи G . Ізоморфізм групи G на себе називається автоморфизмом групи G .
Так, наприклад, автоморфизмом є тотожне відображення групи на себе.
Теорема 1.4. Якщо відображення h групи G =(G,, - 1) до групи H =(H,, - 1) зберігає бінарну операцію групи G , тобто h (ab)=h (a) h (b) для будь-яких a, b з G, то h переводить одиницю групи G в одиницю групи H і є гомоморфізмом.
Доказ. Нехай e - одиниця групи G і e=h (e). В силу (1)
h (ee)=h (e) h (e)=h (e), тобто ee=e. Звідси, по властивості 7, випливає, що e є одиницею групи H .
Нехай a - будь-який елемент групи G . В силу (1) з aa - 1=e слід h (a) h (a - 1)=e По властивості 9, звідси випливає, що (2) h (a - 1)=(h (a)) - 1 для будь-якого a з G.
На підставі (1) і (2) укладаємо, що h є гомоморфізмом групи G в H .
Теорема 1.5. Ставлення ізоморфізму на якому-небудь безлічі груп рефлексивно, транзитивно і симетрично, тобто є відношенням еквівалентності.
Прімери. 1. Нехай Q * - безліч всіх раціональних чисел...
