ідні визначення, теореми, формули (розділ 1), застосування вейвлет-перетворень для розв'язання інтегральних рівнянь (розділ 2), вейвлети в системі MATLAB (розділ 3) і висновок.
Мета роботи
Детально вивчити вейвлет-перетворення, а саме, застосування вейвлет-перетворень для розв'язання інтегральних рівнянь, вивчити особливості системи MATLAB для дослідження вейвлет-перетворень. Дослідити отримані рішення інтегральних рівнянь за допомогою системи MATLAB.
1. Основи теорії вейвлетів
.1 Від аналізу Фур'є до вейвлет-аналізу
Позначимо через безліч всіх вимірних функцій, визначених на інтервалі і таких, що
.
Вважаємо, що є кусочно-безперервними функціями. Завжди можна припустити, що функції з періодично продолжаемості на всю речову вісь, а саме: для всіх. Тому безліч називають простором-періодичних функцій, інтегрованих з квадратом, - векторний простір. Будь-яку з можна представити рядом Фур'є
, (1.1)
де константи, звані коефіцієнтами Фур'є, визначаються формулою
. (1.2)
Збіжність рядів в (1.1) у просторі означає, що
.
Є дві явні особливості розкладань і ряди Фур'є (1.1). Перша особливість полягає в тому, що розкладається в нескінченну суму взаємно ортогональних компонент, де ортогональность означає, що
для всіх (1.3)
зі скалярним твором (1.3), певним формулою:
(1.4)
де риса над функцією означає операцію комплексного сполучення. Умова (1.3) є наслідком факту, що
, (1.5)
утворює ортонормованій базис в.
Друга особливість розкладання в ряд Фур'є (1.1) полягає в тому, що ортонормованій базис породжується розтягуванням єдиної функції
(1.6)
так, що для всіх цілих (цілочисельне розтягнення).
Тобто кожна-періодична, інтегрована з квадратом функція породжується «суперпозицією» цілочисельних розтягувань базисної функції.
З властивостей базису слід також, що розкладання в ряд Фур'є (1.1) задовольняє рівності Парсеваля
. (1.7)
Нехай позначає простір всіх сумміруемих з квадратом нескінченних послідовностей; іншими словами, тоді і тільки тоді, коли.
Простору функцій і простір послідовностей ізометрічни один одному. Про разложениях в ряди Фур'є (1.1) можна сказати, що кожна-періодична інтегрована з квадратом функція являє собою-лінійну комбінацію цілочисельних розтягувань базисної функції. Тільки одна базисна функція потрібна для породження всіх-періодичних інтегруються з квадратом функцій. Для будь-якого цілого, великого за абсолютною величиною хвиля має високу частоту, а для малих за абсолютною величиною значень хвиля має низьку частоту. Таким чином, кожна функція з складається з частки різних частот.
Далі розглянемо простір вимірних функцій, визначених на дійсній осі, задовольняють нерівності
.
Два простору функцій і зовсім різні. Зокрема, кожна функція (її локальне середнє значення) з повинна «затухати» до нуля при прагне до, але синусоїдальні (хвилі) функції не належать. По суті, якщо потрібно використовувати «хвилі», які породжують, то ці хвилі повинні були б затухати до нуля при, і з усіх практичних міркувань це загасання по...
