n="justify"> Деяке уявлення про властивості такого простору можна отримати на простому прикладі сфери, поверхні звичайного глобуса. Розглянемо на ній сферичний трикутник, фігуру, обмежену дугами великого кола. (Дуга великого кола, що з'єднує дві точки на сфері, - це найкоротша відстань між ними; вона являє собою природний аналог прямої на площині.) Виберемо як цих дуг ділянки меридіанів, що відрізняються на 90 ° по довготі, і екватора (рис. 1) . Сума кутів цього сферичного трикутника не дорівнює?- Суму кутів трикутника на площині:
? +? +? =1,5?. (1)
Перевищення суми кутів даного трикутника над? може бути виражене через його площа S і радіус сфери R:
? +? +? -? =S / R 2. (2)
Це співвідношення справедливо для будь-якого сферичного трикутника. Звичайний випадок трикутника на площині також випливає з цієї рівності: площину можна розглядати як сферу з R??. Якщо переписати формулу (2) інакше:
=1 / R 2=[? +? +? -?] / S, (3)
то видно, що радіус сфери можна визначити, залишаючись на ній, не звертаючись до тривимірного простору, в яке вона занурена. Для цього достатньо виміряти площу сферичного трикутника і суму його кутів. Іншими словами, R або K є внутрішньою характеристикою сфери. Величину K прийнято називати гауссової кривизною, вона природним чином узагальнюється на довільну гладку поверхню:
K (x)=limS?? [? +? +? -?] / S. (4)
Тут кути і площа відносяться до малого трикутнику на поверхні, обмеженому лініями найкоротших відстаней на ній, а кривизна, взагалі кажучи, змінюється від точки до точки, тобто є величиною локальної. У загальному випадку, так само як і для сфери, параметр K служить внутрішньої характеристикою поверхні, що не залежить від її занурення в тривимірний простір. Гауссова кривизна не змінюється при згинанні поверхні без її розриву і розтягування. Так, наприклад, конус або циліндр можна розігнути в площину, і тому для них, так само як для площини, K=0.
Рис. 1. Сферичний трикутник
Якщо взяти на полюсі (рис. 1) вектор, спрямований вздовж одного з меридіанів, перенести його уздовж цього меридіана, не змінюючи кута між ними (в даному випадку нульового), на екватор, далі, перенести його уздовж екватора, знову не змінюючи кута між ними (цього разу? / 2), на другому меридіан, нарешті таким же чином повернутися вздовж другого меридіана на полюс, то на відміну від такого ж перенесення по замкнутому контуру на площині вектор виявиться поверненим щодо свого вихідного напрямки на? / 2 або на
? +? +? -? =KS. (5)
Цей результат - поворот вектора при його перенесення вздовж замкнутого контуру на кут, пропорційний охопленої площі, - природним чином узагальнюється не тільки на довільну двовимірну поверхню, але і на багатовимірні неевклидова простору. Проте в загальному випадку n-мірного простору кривизна не зводиться однією скалярною величиною K (x). Це більш складний геометричний об'єкт, що має n 2 (n 2 - 1) / 12 компонент. Його називають тензором кривизни або тензором Рімана, а самі ці простору - ріманово. У чотиривимірному римановом просторі-часі загальної теорії відносності тензор кривизни має 20 компонент.
...
