вдання припустимо, що li=l для всіх i=0,1,2, .... Підставляючи ці значення в рівняння (2.1) отримаємо (2.2):
(2.2)
Для простоти припустимо також, що процес починається в нульовий момент при нулі членів, тобто:
Звідси для P0 (t) отримуємо рішення:
P0 (t)=e-lt.
Підставляючи це рішення в рівняння (2.2) при i=1, приходимо до рівняння:
.
Вирішення цього диференціального рівняння, очевидно, має вигляд:
P1 (t)=lte-lt.
Далі по індукції як рішення рівняння (2.2) знаходимо:
.
Це знайоме нам розподіл Пуассона. Таким чином, процес чистого розмноження з постійною інтенсивністю l призводить до послідовності народжень, що утворює пуассоновский потік [2].
Найбільший інтерес у практичному плані становлять ймовірності станів процесу розмноження і загибелі в сталому режимі. Припускаючи, що процес володіє ергодичним властивістю, тобто існують межі
перейдемо до визначення граничних ймовірностей Pi. Рівняння для визначення ймовірностей стаціонарного режиму можна отримати безпосередньо з (2.1), враховуючи, що dPi (t) / dt=0 при:
(2.3)
Отримана система рівнянь вирішується з урахуванням нормувального умови (2.4):
. (2.4)
Систему рівнянь (2.3) для сталого режиму процесу розмноження і загибелі можна скласти безпосередньо по графу інтенсивностей переходів на малюнку 2.1, застосовуючи принцип рівності потоків ймовірностей до окремих станом процесу. Наприклад, якщо розглянути стан Ei в сталому режимі, то:
інтенсивність потоку вірогідності в і
інтенсивність потоку вірогідності з.
У стані рівноваги ці два потоки повинні бути рівні, і тому безпосередньо отримуємо:
.
Але це якраз і є перше рівність в системі (2.3). Аналогічно можна отримати і другий рівність системи. Ті ж самі міркування про збереження потоку, які були наведені раніше, можуть бути застосовані до потоку ймовірностей через будь-яку замкнену кордон. Наприклад, замість того, щоб виділяти кожний стан і складати для нього рівняння, можна вибрати послідовність контурів, перший з яких охоплює стан E0, другий - стан E0 і E1, і так далі, включаючи кожен раз в нову кордон черговий стан. Тоді для i-го контуру (навколишнього стану E0, E1, ..., Ei - 1) умова збереження потоку вірогідності можна записати в наступному простому вигляді:
. (2.5)
Рівність (2.5) можна сформулювати у вигляді правила: для найпростішої системи розмноження і загибелі, що знаходиться в стаціонарному режимі, потоки ймовірності між будь-якими двома сусідніми станами рівні.
Отримана система рівнянь еквівалентна виведеної раніше. Для складання останньої системи рівнянь потрібно провести вертикальну лінію, що розділяє сусідні стану, і прирівняти потоки через утворену кордон [1, 2].
Рішення системи (2.5) можна знайти методом математичної індукції.
При i=1 маємо
при i=2
при i=3
.
Вид отриманих рівностей показує, що загальне рішення системи рівнянь (2.5) має вигляд:
або, враховуючи, що, за визначенням, твір по порожньому безлічі дорівнює одиниці:
(2.6)
Таким чином, всі ...
