підсумовуємо їх площі.
.2 Інтегрування методом Монте-Карло
Припустимо, необхідно взяти інтеграл від деякої функції. Скористаємося неформальним геометричним описом інтеграла <# «175» src=«doc_zip27.jpg» /> <# «21» src=«doc_zip28.jpg» /> частинок описуваної функцією гамильтониана, де задає всі ступені свободи однієї частинки (наприклад). Вектор задає один стан системи. Безліч станів системи складає доступне їй фазовий простір. Тоді середнє значення величини, що є функцією стану системи, дається інтегралом
(1.1)
де - функція розподілу, а в знаменнику знаходиться статистична сума
(1.2)
Якщо система складається з невеликого числа частинок і розмірність простору мала, то інтеграл (1.1) можна обчислити, використовуючи звичайні формули для наближеного чисельного обчислення інтегралів із заданою точністю. Однак при великому, коли кратність інтеграла стає великою, такий підхід малопродуктивний, тому що витрати на обчислення залежать експоненціально від.
Інший спосіб, що носить ім'я методу Монте Карло 1.1, заснований на стохастическом переборі точок у фазовому просторі з кращою вибіркою тих областей з, які дають суттєвий внесок в інтеграл (1.1).
Таким чином, відповідно до функції розподілу генерується ланцюг станів у фазовому просторі, вздовж якої і обчислюється інтеграл (1.1). При кількості елементів у ланцюзі, що прагне до нескінченності, ми отримуємо точне значення середнього. При кінцевої же довжині ланцюга похибка такого способу обчислення інтеграла набагато менше похибки одержуваної звичайними методами при тих же витратах.
Зазвичай генерується марковська ланцюг, тобто така послідовність, в якій подальше стан залежить тільки від справжнього стану і не залежить «від минулого». Математично це означає, що умовна ймовірність появи стану після послідовності дорівнює ймовірності.
Один з можливих способів реалізації марковского процесу, що володіє заданою функцією розподілу, викладається нижче в параграфі 1.2.1. А зараз ми конкретизуємо вид розподілу.
Для класичної системи в тепловій рівновазі при температурі функція розподілу дається законом Больцмана:
(1.3)
Якщо частина, що залежить від імпульсів, відділяється від координатної частини, і енергія взаємодії частинок не залежить від імпульсів, як має місце для пилової плазми (див. главу <# «21» src=«doc_zip50.jpg» / > не залежить від імпульсів частинок (наприклад, конфігурації мінімумів, кореляційні функції), то інтеграл по імпульсах у формулі () виноситься з чисельника і знаменника і скорочується. Тим самим досить розглянути не всі фазовий простір, а тільки його конфігураційну частину.
Для квантової системи середнє від величин, оператори яких діагональних в координатному представленні, описується все тією ж формулою (1.1 <# «43» src=«doc_zip52.jpg» /> (1.4)
Однак для квантової системи можливий і інший підхід, що використовує матрицю щільності. Тоді математичне очікування величини, якій відповідає оператор, при будь-якому значенні температури може бути обчислене за формулою
(1.5)
Цей інтеграл можна взяти за допомогою методу Монте-Карло інтегрування по траєкторіях.
