p>
- відстань від початку голки до найближчої до неї прямий;
- кут голки щодо прямих.
Цей інтеграл просто взяти: (за умови, що), тому підрахувавши частку відрізків, що перетинають прямі, можна наближено визначити це число. При збільшенні кількості спроб точність одержуваного результату збільшуватиметься.
У 1864 році капітан Фокс, одужуючи після поранення, щоб якось зайняти себе, реалізував експеримент з кидання голки. Результати представлені в наступній таблиці:
Число бросанійЧісло пересеченійДліна іглиРасстояніе між прямиміВращеніеЗначеніе ПіПервая попытка50023634отсутствует3.1780Вторая попытка53025334присутствует3.1423Третья попытка59093952присутствует3.1416
Коментарі:
Обертання площини застосовувалося (і як показують результати - успішно) для того, щоб зменшити систематичну помилку.
У третій спробі довжина голки була більше відстані між лініями, що дозволило не збільшуючи числа бросаний ефективно збільшити число подій і підвищити точність.
.1 Зв'язок стохастичних процесів і диференціальних рівнянь
Створення математичного апарату стохастичних методів почалося наприкінці XIX століття. У 1899 році лорд Релей показав, що одномірне випадкове блукання на нескінченній решітці може давати наближене рішення параболічного диференціального рівняння. Андрій Миколайович Колмогоров в 1931 році дав великий поштовх розвитку стохастичних підходів до вирішення різних математичних задач, оскільки він зумів довести, що ланцюги Маркова пов'язані з деякими інтегро-диференціальними рівняннями. У 1933 році Іван Петровський показав, що випадкове блукання, що утворить Марківську ланцюг, асимптотично пов'язано з рішенням еліптичного диференціального рівняння в приватних похідних. Після цих відкриттів стало зрозуміло, що стохастичні процеси можна описувати диференціальними рівняннями і, відповідно, дослідити за допомогою добре на той момент розроблених математичних методів вирішення цих рівнянь.
. Народження методу Монте-Карло
Спочатку Енріко Фермі <# «59» src=«doc_zip8.jpg» />
Розглянемо випадкову величину, рівномірно розподілену на відрізку інтегрування. Тоді так само буде випадковою величиною, причому її математичне сподівання <# «70» src=«doc_zip12.jpg» />,
де - щільність розподілу випадкової величини, рівна на ділянці.
Таким чином, шуканий інтеграл виражається як
.
Але матожіданіе випадкової величини можна легко оцінити, змоделювавши цю випадкову величину і порахувавши вибіркове середнє.
Отже, кидаємо точок, рівномірно розподілених на, для кожної точки обчислюємо. Потім обчислюємо вибіркове середнє:
.
У підсумку отримуємо оцінку інтеграла:
Точність оцінки залежить тільки від кількості точок.
Цей метод має і геометричну інтерпретацію. Він дуже схожий на описаний вище детерминистический метод, з тією різницею, що замість рівномірного поділу області інтегрування на маленькі інтервали і підсумовування площ одержані «стовпчиків» ми закидаємо область інтегрування випадковими точками, на кожній з яких будуємо такий же «стовпчик», визначаючи його ширину як, і...
