n="justify"> .3 Геометричний алгоритм Монте-Карло інтегрування
<# «41» src=«doc_zip59.jpg» />
Для малого числа вимірів інтегрованої функції продуктивність Монте-Карло інтегрування набагато нижче, ніж продуктивність детермінованих методів. Тим не менш, в деяких випадках, коли функція задана неявно, а необхідно визначити область, задану у вигляді складних нерівностей, стохастичний метод може виявитися більш кращим.
.4 Алгоритм Метрополіса
В алгоритмі Метрополіса на кожному кроці марковского процесу за наявною конфігурації будується наступна зміною однієї з мір свободи (переворотом одного спина). Нова конфігурація приймається (тобто спін перевертається) з імовірністю, рівної відношенню гиббсовской ваг нової та старої конфігурацій12=exp [(E1-E2) / T] при E1 < E2; W12=1Прі E1> E2
де E1, E2 - енергії старої і нової конфігурацій спинив відповідно. Якщо нова конфігурація відкидається, то стара використовується в усередненні ще один раз. У асимптотичному межі частота проходження через даний стан виявляється пропорційною його вероятностному (гиббсовской) вазі. Середні обчислюються з використанням отриманих конфігурацій (більш докладний опис алгоритму можна подивитися у Казакова або Гулда і Тобочніка). Алгоритм Метрополіса може бути легко застосований для моделювання фазового переходу в XY моделі.
Далі ми переконаємося, що вибирати W12 можна різними способами. Для того, щоб ітераційний процес в асимптотичному межі приводив до розподілу Гіббса достатньо, щоб ймовірності переходу задовольняли принципом детального рівноваги
12 exp (-E1 / T)=W21 exp (-E2 / T) або W12 / W21=exp [(E1-E2) / T].
Використовуване Java програма грунтується на програмах наведених у книзі Гулда і Тобочніка. Алгоритм Метрополіса (випадковий переворот спина) послідовно застосовується до всіх комірок решітки після чого виводяться «миттєві» значення Et, Mt і обчислюються середні по «Марковському» часу
M=1 / T? t=1, T Mt, M=1 / T? t=1, T Et.
Теплоємність C і магнітна сприйнятливість? системи можуть бути визначені за величиною флуктуацій енергії та намагніченості з формул
=d / dT=n/T2 ( - 2),
? =LimH? 0 d / dT=n / T ( - 2).
Пряме моделювання методом Монте-Карло
Пряме моделювання методом Монте-Карло-якого фізичного процесу передбачає моделювання поведінки окремих елементарних частин фізичної системи. По суті це пряме моделювання близько до вирішення завдання з перших принципів <# «45» src=«doc_zip60.jpg» /> (1),
де J-обмінна взаємодія, h-зовнішнє магнітне поле. Згідно з формулою Зазукі-Троттера статсумма перетвориться наступним чином:
(2),
де Hj-локальні взаємодії, такі що H=SjHj, а m - ціле позитивне число, зване числом Троттера. Таким чином, система переходить в двомірну модель із шаховим розташуванням чотирьох спинив. Графічне представлення дано на Рис.1, де затемнення квадратики означають взаємодії чотирьох спинив. На Рис.2 видно четирехспіновие конфігурації дозволені для S=1/2. Зазвичай такі конфігурації називають <Плакета>. Таким чином, в системі L? m Плакета. При оновленні системи необхідно перевернути все спини в Плакета чинності закону збереження. Перетворюючи гамильтониан (1) за допомогою СПІНОР
...
