.
Нехай і - дві довільні скалярні функції. Покладемо
.
Тоді теорема Гаусса-Остроградського приймає вид
.
Можна записати
,
.
Тут введено позначення
для похідної функції у напрямку
Після підстановки цих виразів в видозмінену формулу Гаусса-Остроградського отримаємо
.
Ця формула називається першою формулою Гріна.
Аналогічно, якщо покласти
,
то перша формула Гріна прийме вигляд
.
Віднімаючи відповідні формули, отримаємо
.
Ця формула називається другою формулою Гріна.
Використовуючи формули Гріна, можна отримати зв'язки між значеннями функції у внутрішніх точках виділеного обсягу і на кордонах.
Теорема 1. Значення функції у внутрішній точці області Т , обмеженою поверхнею S , визначається формулою
, де
-
відстань між точками і. Доказ. Розглянемо точку і оточимо її маленької сферичною поверхнею радіуса
Введемо функцію
, де
.
Неважко вирахувати оператор Лапласа від функції (зробити самостійно)
.
З другої формули Гріна
,
записаної для області, обмеженої поверхнями S і, отримаємо
Розглянемо інтеграл по поверхні сфери
Враховуючи умову, одержимо
Нехай. Теорема про середню для поверхневого інтеграла має вигляд
.
Застосуємо до нашого інтегралу теорему про середню
.
В межі отримаємо
.
Повертаємося до первісної формулою Гріна
. тсюда
.
Надалі ми будемо використовувати цю формулу і інші формули Гріна при вирішенні різних рівнянь математичної фізики.
. Питання та завдання
. Обчислити оператор Лапласа для функцій:
а ),
б ), де,
в ),
г ),
д ), де.
Список використаної літератури та джерел
1. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Рівняння математичної фізики, М.: МГУ, 1999, 798 с.
. Кальницький Л.А., Добротін Д.А., Жеверже В.Ф. Спеціальний курс вищої математики для втузів, М.: «Вища школа», 1976, 390 с.
. Берман Г.Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу, М.: Наука, 1985, 384 с.
. Усі рішення до «Збірника завдань з загального курсу фізики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., Книга 2, 588 с.
. Красильников О.М. Фізика. Методичне керівництво з обробки результатів спостережень. М.: МІСіС, 2002, 29 с.
. Супрун І.Т., Абрамова С.С. Фізика. Методичні вказівки з виконання лабораторних робіт, Електросталь: епі МИСиС, 2004, 54 с.
