ються, не утворюють змішане твір векторів (у змішаному творі). Замінювати дію двох операторів «Набла» одним оператором? неприпустимо, тому що їх послідовні дії відносно вектора
F різняться.
Слід мати на увазі, що операції з оператором вимагають уваги й акуратності, тому відповідні перетворення слід супроводжувати безпосередніми обчисленнями, виконуючи диференціювання по координатах.
3. Дивергенція градієнта і ротора
дивергенція градієнта ми визначили в § 1
,
де був введений оператор Лапласа
.
Знайдемо дивергенцію ротора за допомогою оператора «Набла»:
.
Неважко переконатися в справедливості цієї рівності і безпосереднім диференціюванням. Пропонується зробити це самостійно.
У виразі розглядається змішане твір трьох векторів, і. Відзначимо відміну цього випадку від виразу
,
яка не є змішаним твором (вираз є скалярним твором, а не векторним).
4. Ротор градієнта і ротора
Для операції можна також використовувати оператор «Набла»:
,
Тут враховано, що векторний добуток колінеарних операторів дорівнює нулю. Пропонується отримати цей же результат шляхом безпосереднього диференціювання.
З отриманого результату можна отримати важливий наслідок. Розглянемо деяку замкнуту криву L і натягнемо на неї довільну поверхню S .
Використовуючи теорему Стокса, можемо записати
.
Отриманий результат сформулюємо у вигляді теореми:
Теорема 1. Циркуляція векторного поля по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю.
Слідство 1. Криволінійний інтеграл від градієнта скалярної функції не залежить від вибору шляху інтегрування і повністю визначається початковою і кінцевою точками лінії інтегрування.
.
Доказ. Зробимо малюнок.
Виконаємо найпростіші перетворення
,
Отже
. Маємо
.
Це означає, що підінтегральний вираз є повним диференціалом. Отже, величина інтеграла залежить тільки від вибору точок А і В:
.
Обчислимо операцію. Для цього використовуємо відому з векторної алгебри формулу для подвійного векторного добутку
.
Перепишемо цю формулу в більш зручному для нас вигляді
.
Перетворення зроблено так, щоб у подальших формулах оператор «Набла» не стояв на останній позиції. У термінах оператора «Набла» отримаємо
.
(Що було б, якщо використовувати звичайну формулу для подвійного векторного твори?)
Використовуючи позначення оператора Лапласа, можна записати
.
Маємо систему трьох диференціальних співвідношень, записаних для компонент вектора F .
Ми розглянули основні диференціальні операції другого порядку. Надалі будемо їх використовувати при вирішенні різних завдань.
5. Формули Гріна
Отримаємо ще кілька формул загального характеру, які пов'язують властивості різних функцій і широко використовуються в додатках. Запишемо формулу Гаусса-Остроградського
...
