о елементу y позначається? Y. Аддитивная запис зазвичай (але далеко не завжди) використовується для позначення комутативними операцій. Група називається кінцевою, якщо в ній (а точніше в безлічі M) кінцеве число елементів, яке називається порядком групи.
. КІЛЬЦЯ
Галуа кільце група поле
У теорії множин кільцем називають непорожню систему множин R, замкнуту щодо перетину і симетричної різниці кінцевого числа елементів. Це означає, що для будь-яких елементів A, B з кільця елементи і теж будуть лежати в кільці. З точки зору алгебраїчної структури кільце множин являє собою асоціативне коммутативное кільце з операцією симетричної різниці в ролі додавання і перетину в ролі множення. У ролі нейтрального елемента по додаванню виступає, очевидно, порожній безліч. Нейтрального елемента по множенню в кільці множин може і не бути. Наприклад, не має нейтрального елемента по множенню кільце всіх обмежених підмножин числової прямої.
Властивості кільця :: Пусте безліч належить будь-якому кільцю.: Об'єднання кінцевого числа елементів кільця належить кільцю.: Різниця елементів кільця також належить кільцю,: Пряме твір кілець є півкільцем, і не зобов'язана бути кільцем.
Якщо в кільці є одиничний елемент для множення, то кільце називається кільцем з одиницею. Якщо множення коммутативно, то таке кільце називається комутативним кільцем.
. ПОЛЕ
Поле - безліч, для елементів якого визначені операції додавання, віднімання, множення і ділення (крім поділу на нуль), причому властивості цих операцій близькі до властивостей звичайних числових операцій. Найпростішим полем є поле раціональних чисел (дробів). Хоча назви операцій поля взяті з арифметики, слід мати на увазі, що елементи поля не обов'язково є числами, і визначення операцій можуть бути далекі від арифметичних. Для полів характерні такі властивості: Характеристика поля завжди або просте число.: Кількість елементів в кінцевому полі завжди одно - ступеня простого числа.: У полі немає дільників нуля.
. КІНЦЕВЕ ПОЛЕ
Кінцеве поле або поле Галуа - поле, що складається з кінцевого числа елементів.
Кінцеве поле зазвичай позначається або (скорочення від Galois field), де - число елементів поля (потужність). З точністю до ізоморфізму кінцеве поле повністю визначається його потужністю, яка завжди є ступенем-якого простого числа (, де - просте число, що є характеристикою поля).
Поняття кінцевого поля використовується, зокрема, в теорії чисел, алгебраїчної геометрії, теорії Галуа, криптографії, в розробці секретних ключів різнихшифрів (наприклад, AES).
Найпростішим прикладом кінцевого поля є - кільце відрахувань по модулю простого числа.
Властивості кінцевого поля:
R1: Характеристика кінцевого поля є простим числом, і число елементів кінцевого поля є його характеристика в натуральній ступеня:
2: Кінцеве поле не може бути впорядкованим, так як упорядковане поле містить нескінченно багато елементів.
R3: Мультиплікативна група кінцевого поля є циклічною групою порядку.
R4: Поле містить в собі як подполя тоді і тільки тоді...
