(2.9)
Правомірно наступне:
Таким чином, рішення можна представити таким рядом Фур'є-Бесселя:
(2.10)
3. Дослідження збіжності ряду аналітичного рішення
Знайдемо мажоранту для ряду:
При збільшенні аргументу функції Бесселя:
(3.1)
Нерівність (3.1) докладно доводиться в пункті 4 на сторінці 11.
Отримаємо ряд q> u,
4. Оцінка залишку ряду
Щоб з'ясувати, як усічення ряду впливає на точність рішення вихідної задачі, необхідно знайти оцінку залишку ряду:
(4.1)
де
Одержуємо:
(4.2)
Врахуємо, що:
Таким чином, досить оцінити тільки
Для оцінки даних коефіцієнтів необхідно розрахувати наступний інтеграл:
(4.3)
Для розрахунку (4.3) скористаємося формулою:
(4.4)
Має місце наступне рівність [3]:
(4.5)
Розглянемо вираз (4.4). Опустимо в правій частині на підставі практичних розрахунків (див. таблицю 1). Таким чином, (4.4) можна замінити наступним виразом:
Якщо те (4.5) приймає вигляд:
Таким чином, отримуємо наступне нерівність:
Нерівність перевірено і підтверджено на практиці (див. таблицю 1).
Таблиця 1 - Cравненіе інтеграла і апроксимується формули
Номер корняЗначеніе інтегралаАпроксімірующая формулаПогрешностьОбщая погрешность11, 9712921E - +121,9712921 E - 123,2206 E - 213,2206 E - +2121,8533022 E - +121,8533022 E - 127,8209 E - 211,1041 E - +2031,6585267 E - 121, 6585267E - 123,3543 E - 211,4396 E - 2041,4127617 E - +121,4127617 E - 126,5427 E - 212,0938 E - +2051,1454716 E - +121,1454716 E - 121,6735 E - 203,7674 E - +2068,8403270 E - +138,8403273 E -132,3703 E - 206,1376 E - 2076,4941282 E - +136,4941285 E - 132,6846 E - 208,8222 E - 2084,5408992 E - +134,5408994 E - 132,7249 E - 201,1547 E - +1993,0222564 E - +133,0222567 E - 132, 6104E - 201,4158 E - +19101,9146491 E - +131,9146494 E - 132,4235 E - 201,6581 E - +19111,1545573 E - +131,1545576 E - 132,2153 E - 201,8796 E - +19126,6268972 E - +146,6268992 E - 142,0113 E -162,0808 E - 19133,6205400 E - +143,6205419 E - 141,8188 E - 202,2626 E - 19141,8828028 E - +141,8828044 E - 141,6461 E - 202,4273 E - 19159,3197568 E - +159,3197717 E - 151,4950 E - 202, 5768E - +19164,3910908 E - +154,3911045 E - 151,3626 E - 202,7130 E - 19171,9692821 E - +151,9692946 E - 151,2474 E - 202,8378 E - 19188,4064015 E - +168,4065159 E - 161,1438 E - 202,9521 E -+19193,4156740 E - +163,4157794 E - 161,0543 E - 203,0576 E - +19201,3209914 E - +161,3210888 E - 169,7378 E - 213,1549 E - 19214,8625244 E - +174,8634298 E - 179,0534 E - 213,2455 E - 19221, 7033609E - +171,7042045 E - 178,4359 E - 213,3298 E - 19235,6763262 E - +185,6841979 E - 187,8717 E - 213,4086 E - 19
Таким чином, отримуємо:
(4.6)
Асимптотическая формула для
Наближена формула для нулів
Для
Таким чином
(4.7)
<...
