br />
Нерівність (4.7) перевірено і підтверджено на практиці.
Підставами цей вираз у формулу (4.6) і отримаємо:
(4.8)
Підставивши (4.8) в (4.2), отримаємо такий вираз:
У підсумку отримуємо оцінку:
(4.9)
5. Чисельний розрахунок рішення
.1 Обчислення функцій Бесселя
Для обчислення значень функцій Бесселя нульового та першого порядків був використаний алгоритм, що дозволяє обчислити значення з точністю 10 - 7:
Для функції Бесселя нульового порядку:
(5.1)
(5.2)
Для функції Бесселя першого порядку:
(5.3)
5.2 Обчислення коренів характеристичного рівняння J 0 (? m )=0
Дане рівняння є трансцендентний і має нескінченну безліч рішень. Для знаходження цих коренів скористаємося методом січних:
(5.5)
Для обчислення J0 (? m) використовується алгоритм, описаний в пункті 4.1. Даний метод має Сверхлінейний швидкістю збіжності. Як критерій зупину використовується умова в нашому випадку тобто забезпечується точність обчислення рівна двійковій точності подання дійсних чисел у пам'яті комп'ютера. Таким чином, цією похибкою можна знехтувати.
5.3 Чисельне інтегрування
Оскільки інтеграл не може бути обчислений аналітично, необхідно чисельно відшукати його значення. Для чисельного інтегрування використовувалися Квадратурна формула Гаусса-Кронрода, алгоритм обчислення узятий з бібліотеки ALGIB. Використання цього методу забезпечує відносну похибка
6. Порівняння теоретичної та практичної оцінок кількості членів ряду Фур'є
Проведемо порівняння теоретичної оцінки кількості членів та оцінки, отриманої практичним шляхом. Результати винесемо в таблицю 3.
Практична оцінка була розрахована наступним чином: теоретичне значення оцінки кількості сумміруемих членів зменшувалася і відстежує зміну розряду, на порядок меншого забезпечуваної похибки.
Таблиця 3 - Порівняння теоретичної та практичної оцінок запланованого членів ряду Фур'є
Eps <0,1 <0,01 <0,001 <0,0001 <0,00001 <0,000001 rzN т 91316192123 - N ПР1 +9121619212300,0001 N ПР2 16111418210,000010,0001 N ПР3 17131517210, +000010,0002
7. Аналіз похибки обчислень
Крім помилок, що виникають при використанні чисельних методів, похибка обчислень задається точністю представлення дійсного числа в пам'яті процесора ПК і становить
Як видно з таблиці 3, для забезпечення похибки, меншою, при додаванні необхідно підсумовувати 23 члена ряду. Похибка при обчисленні одного елемента ряду становить менш. Відповідно, при додаванні 23 членів ряду отримуємо наступну похибка: Таким чином, загальна похибка становить:
