рижнів, завдань акустики, гідродинаміки, аналітичної механіки. Ідеї ??математичної фізики отримали новий розвиток в XIX столітті в зв'язку із завданнями теплопровідності, дифузії, пружності, оптики, електродинаміки, нелінійними хвильовими процесами, теорією стійкості руху.
Багато задач класичної математичної фізики зводяться до крайових задач для диференціальних рівнянь - рівнянь математичної фізики, які спільно з відповідними граничними (або початковими і граничними) умовами утворюють математичні моделі розглянутих фізичних процесів.
Основними класами таких завдань є еліптичні, гіперболічні, параболічні задачі і задача Коші.
Основними математичними засобами дослідження задач математичної фізики служить теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними, інтегральних рівнянь, теорій функцій і функціональних просторів, функціональний аналіз, наближені методи і обчислювальна математика.
1. Математична постановка крайової задачі
З умови задачі відомо, що хвилевід обмежений провідної оболонкою, тому на стінці хвилеводу буде дотримуватися наступне гранична умова першого роду:
Таким чином, доповнивши задане диференціальне рівняння граничними умовами, отримуємо модель процесу поширення електромагнітної хвилі в хвилеводі, яка буде виглядати так:
(1.1)
2. Аналітичне рішення
Для відшукання вирішення задачі використовуємо метод Фур'є. Будемо вважати, що рішення може бути представлено у вигляді твору:
(2.1)
Введемо позначення, тоді диференціальне рівняння з системи (1.1) запишеться у вигляді:
Врахуємо в співвідношенні (2.1), а потім перетворимо його:
Рівняння, що визначає функцію:
Зробимо серію викладок, що дозволяють спростити обчислення:
Рівняння, що визначає функцію:
Домножим це рівняння на r2V (r) і доповнимо його граничним умовою, яке випливає з граничної умови функції U (r, z):
(2.2)
Таким чином, отримуємо рівняння Бесселя 0-го порядку.
Для того щоб прийти до стандартного вигляду рівняння Бесселя введемо нову змінну:
(2.3)
Продифференцируем (2.3) по r і отримаємо:
(2.4)
Аналогічно, продифференцировав (2.4) по r:
(2.5)
Підставами (2.3) - (2.5) в рівняння з (2.2) і отримаємо для визначення рівняння Бесселя 0-го порядку:
(2.6)
Підставами в (2.6) гранична умова:
- т.к. цілий порядок (обмежене рішення)
нехай
Рівняння має нескінченну безліч речових коренів: тобто має нескінченну безліч власних значень: яким відповідають власні функції:
Таким чином, отримуємо:
Рішення постане в наступному вигляді:
(2.7)
Підставами в (2.7) початкова умова, в результаті отримаємо:
(2.8)
Відзначимо, що система власних функцій є ортогональною системою з вагою r [1].
З теореми разложимости [1] знаходимо коефіцієнт:
...
