тіла. За визначенням моменту інерції:
Вираз для I P можна переписати у вигляді:
Оскільки початок координат збігається з центром мас C , останні два члена звертаються в нуль. Це випливає з визначення центру мас. Отже,
P = I C + md 2,
де m - повна маса тіла. Цей результат називають теоремою Штейнера ( теоремою про паралельне перенесення осі обертання ).
Модель. Момент інерції:
На рис. 7 зображені однорідні тверді тіла різної форми і вказані моменти інерції цих тіл відносно осі, що проходить через центр мас.
Рис.7. Моменти інерції I C деяких однорідних твердих тіл
Другий закон Ньютона може бути узагальнений на випадок обертання твердого тіла відносно нерухомої осі. На рис. 8. зображено деякий тверде тіло, що обертається щодо осі, перпендикулярної площини малюнка і проходить через точку O .
Рис. 8. Дотична і радіальна складові сили діючої на елемент? m i твердого тіла
Дотична складова викликає Тангенціальне прискорення маси? m i . Другий закон Ньютона, записаний в скалярною формі, дає
? m i a i ? = F i ? = F i sin? або? m i r i ? = F i sin?,
де - кутове прискорення всіх точок твердого тіла.
Якщо обидві частини написаного вище рівняння помножити на r i , то ми отримаємо:
Тут - плече сили - момент сили.
Тепер потрібно аналогічні співвідношення записати для всіх елементів маси? m i обертового твердого тіла, а потім підсумувати ліві і праві частини. Це дає:
Стоящая в правій частині сума моментів сил, що діють на різні точки твердого тіла, складається з суми моментів всіх зовнішніх сил і суми моментів всіх внутрішніх сил.
Але сума моментів усіх внутрішніх сил відповідно до третього закону Ньютона дорівнює нулю, тому в правій частині залишається тільки сума моментів всіх зовнішніх сил, які ми будемо позначати через M . У результаті:
? = M .
Це і є основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла . Кутове прискорення? і момент сил M в цьому рівнянні є величинами алгебраїчними. Зазвичай за позитивний напрямок обертання приймають напрямок проти годинникової стрілки.
Можлива і векторна форма запису основного рівняння динаміки обертального руху, при якій величини ,, визначаються як вектори, спрямовані по осі обертання.
При вивченні поступального руху тіл вводиться поняття імпульсу тіла. Аналогічно, при вивченні обертального руху вводиться поняття моменту імпульсу .
Моментом імпульсу обертового тіла називають фізичну величину, рівну добутку моменту інерції тіла I на кутову швидкість ? його обертання. Момент імпульсу позначається буквою L :
= I ?.
Оскільки рівняння обертального руху можна представити у вигляді:
Остаточно матимемо:
Це рівняння, отримане тут для випадку, коли I =const, справедливо і в загальному випадку, коли момент інерції тіла змінюється в процесі руху.
Якщо сумарний момент M зовнішніх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю, то момент імпульсу
