бо додатковий модулярную кут . Їх вводять наступним способом:
- додатковий параметр
- додатковий модуль
- додатковий модулярную кут
Всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок - і з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому вигляді, - приводяться до наступним трьом стандартним интегралам:
і ,
де (0 lt;? lt; 1).
Ці інтеграли, як показав Луівілль, в кінцевому вигляді не беруться. Їх Лежандр назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр?, А останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h. Лежандр вніс в ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку z=sin? (? Змінюється від 0 до?/2). При цьому з них безпосередньо переходить в інтеграл. (A)
Другий перетвориться так:
,
т.е. наводиться до попереднього інтегралу і до нового інтегралу
. (B)
Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в
. (C)
Інтеграли (A), (B) і (C) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду - у формі Лежандра.
5§. Закон руху маятника (в еліптичних функціях)
(5)
загальне рішення рівняння в явному вигляді.
Видно, що квадратура в кінцевому вигляді не береться: інтеграл справа безпосередньо наводиться до еліптичного інтегралу 1го роду.
Так як,,
то
Підставляючи цей результат в рівняння (5), отримуємо:
і поклавши =? (0 lt;? Lt; 1), введемо нову змінну інтегрування?
за формулами,; (6)
звідки
Крім того,
при цьому зміни? від 0 до? відповідає зміна? від 0 до?/2. Тоді отримаємо закон руху маятника у вигляді
(7)
Інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (7), являє собою еліптичний інтеграл першого роду. Величина? називається модулем еліптичного інтеграла.
Так як по першій з формул (6) легко висловити? через? , То залежність t від? можна вважати встановленою.
Цей інтеграл є функція верхньої межі і модуля. Бажаючи виразити, навпаки,? через t, ми потребуємо зверненні еліптичного інтеграла
( 8)
Якщо в рівності (8) розглядати верхня межа, а як функцію від інтеграла u, монотонно зростаючу безперервну (і навіть дифференцируемую) функцію від? в проміжку (-; то така функція носить назву амплітуди u (am u) - як її позначив Якобі - і позначається так: , або . (9)
А ми позначимо так: , то , або .
З (8) тепер ясно, що і, значить,.
Беручи від обох частин рівності (9) синус, ми отримаємо:
(10)
Функцію ( синус амплітуди або еліптичний синус ) зазвичай позначають просто через sn u. (Функція sn u, розглядається як функція комплексного аргументу, є однією з найпростіших (введених Абелем і Якобі), так званих, еліптичних функцій.). Отже, остаточно, залежність? від t виражається рівністю
Функція sn u являє собою так звану еліптичну функцію Якобі. Оскільки, згідно з рівнянням (7), u=t, то, переходячи в рівності (10) за допомогою формули (6), знайдемо закон руху маятника, виражений через еліптичну функцію sn, у вигляді
. (11)
6§. Графіки траєкторій руху маятника
Побудуємо чисельно криві руху математичного маятника при різних початкових умовах використовуючи закон руху маятника, виражений через еліптичну функцію. Ставлячи кут і проміжок часу, ми будуємо графіки залежності (). Візьмемо=Pi/4 і для точності визначення залежності () візьмемо t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30. При=5 - gt; ()=- 1,2; =15 - gt; ()=1,2 Помічаємо, що через кожні 10с, повторюється кут відхилення.
Візьмемо=Pi/3 і для точності визначення залежності () візьмемо t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30.
При=5 - gt; ()=- 1,84; =8,44 - gt; ()=1,86 Помічаємо, що через майже кожні 3,5с, повторюється кут відхилення.
Таким чином, ми бачимо, що рух маятника періодичне. За 1 період при збільшенні часу кут спочатку збільшується, а потім зменшується.
7§. Висновок
У даній роботі ми виконали поставлені завдання і досягли заданої мети. Ми познайомилися з такими поняттями, як математичний маятник raquo ;, еліптична функція і еліптичний інтеграл ... Відзначили, як чисельно будувати відповідні криві руху при різних початкових умов...
