авдання полягає у встановленні характеру коливань маятника, тобто у з'ясуванні залежності між кутом? =AOM і часу t. Для визначеності розглянемо рух точки M по дузі AB, відраховуючи пройдений шлях s=АВ=l? від точки А, а час t-від моменту проходження маятника через положення рівноваги.
Складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху
mW = F + N , (1)
де F - діюча на точку активна сила, а N - реакція зв'язку.
Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює діючій на неї силі,
т.е.. (2)
Вважаючи масу постійною, можна представити попереднє рівняння у вигляді
або mW=F, де W є прискорення точки.
Отже, рівняння (1) в проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки по заданій нерухомою гладкої кривої:
або.
У нашому випадку отримаємо в проекції на вісь t
, де m є маса маятника.
Також за законами механіки кутове прискорення пропорційно моменту сили ваги:. Тут - момент інерції.
Так як (тангенціальне прискорення), звідси знаходимо
.
Скоротимо на m і покладемо, тоді рівняння руху маятника без тертя при довільних коливаннях буде мати наступний вигляд:
. (3)
3§. Рішення рівняння
рівняння руху математичного маятника без тертя.
Для вирішення використовуємо метод пониження порядку.
=p, p=p (?) - робимо заміну;
;
- застосовуємо заміну;
- розділили змінні;
- проинтегрировал;
- знайшли рішення по змінній p;
- повернулися до вихідних даних;
- розділили змінні.
Інтегруючи зліва від 0до t, а праворуч від 0 до?, приходимо до шуканої залежності:
- проинтегрировал (4)
Візьмемо, то
(5)
загальне рішення рівняння в явному вигляді.
4§. Еліптичний інтеграл
(5)
загальне рішення рівняння в явному вигляді.
Перед нами еліптичний інтеграл.
В інтегральному обчисленні lt; # 18 src= doc_zip52.jpg / gt ;, яка може бути представлена ??в наступному вигляді:
,
де - раціональна функція lt; # 14 src= doc_zip56.jpg / gt;- Квадратний корінь з многочлена lt; # 8 height= 8 src= doc_zip57.jpg / gt;- Константа.
Ця назва, в точному сенсі, відносять зазвичай лише до тих з них, які не беруться в кінцевому вигляді; інші ж називають псевдоелліптіческімі.
У загальному випадку, еліптичний інтеграл не може бути виражений в елементарних функціях; винятком є ??випадки, коли P має повторювані коріння або коли R (x, y) не містить непарних ступенів y. Однак для кожного еліптичного інтеграла існує механізм приведення його до суми елементарних функцій і трьох нормальних еліптичних інтегралів (тобто еліптичних інтегралів першого, другого і третього роду).
Еліптичні інтеграли часто представляють у вигляді функції ряду різних аргументів. Ці різні аргументи повністю еквівалентні (вони дають одні й ті ж інтеграли), але може виникнути плутанина, пов'язана з їх різним походженням. У більшості робіт автори дотримуються канонічного найменування. Перш ніж визначити самі інтеграли, необхідно ввести найменування для аргументів:
·?- модулярную кут (іноді модулярную кут позначається лігатурою lt; # 8 src= doc_zip58.jpg / gt;);
· - модуль еліптичного інтеграла ;
· - параметр ;
Зауважимо, що представлені вище величини визначаються одна через іншу; визначення однієї з них задає і дві інші.
Еліптичний інтеграл залежить також і від іншого параметра, який, як і попередній, можна ввести кількома способами:
, де - еліптична функція Якобі lt; # 41 src= doc_zip66.jpg / gt;- амплітуда ;
Визначення одного з цих параметрів визначає інші. Таким чином, вони можуть використовуватися упереміш. Зауважимо, що u залежить також і від m . Кілька додаткових рівнянь пов'язують з іншими параметрами:
і
Останнє іноді називається дельта амплітуда і записується як
.
Іноді в літературі посилаються на додатковий параметр , додатковий модуль а...
