й схемі tau - крок за часом.
Кожна функція повертає масиви, складові сітку: і і значення сіткової функції. В якості початкових наближень використовується функція rand (I, J), яка повертає матрицю випадкових чисел розмірністю, зазначеної в дужках. Елементи матриці знаходяться в діапазоні.
Розділ 3. Тестування
Приймемо наступні параметри розроблених функцій:
X=10 довжина сторони квадрата;
N=15 - кількість вузлів сітки;
fi=cos (x) + cos (y) - функція граничних умов;
E=0.001 - точність;
t=1.2- параметр для методу верхньої релаксації;
tau=0.1 - крок за часом для «методу встановлення».
Вводимо початкові дані у функцію ElipYa - схема «хрест» метод Якобі
Малюнок 1
Всього ітерацій 167.
Тепер з тими ж параметрами зробимо розрахунки за допомогою методу Гаусса-Зейделя (Elip1).
Малюнок 2
Всього ітерацій 69.
Протестуємо метод верхньої релаксації (ElipT1)
Всього ітерацій 53.
Перевіримо метод Гаусса для вирішення схеми «хрест»
Результати збігаються з попередніми схемами.
А тепер перевіримо явну схему - «метод встановлення»
Малюнок 3
Всього ітерацій 89.
Зменшимо крок по сітці до h=0.59. Тобто X=10, а N=17.
Малюнок 4
Схема проявила нестійкість. Очевидно, що при цьому розкладі умова (12) не виповнилося.
Виходячи з вищевикладеного, доводиться при досить малому кроці вибирати дуже невеликий крок за часом.
Висновок
Запишемо результати в таблиці
МетодКолічество ітерацій Якобі167Гаусса-Зейделя69Метод верхньої релаксаціі53Явний метод установленія89
Для методу Гаусса не доводиться враховувати кількість ітерацій.
1.Установлено що явна схема має істотний недолік: накладаються обмеження на кроки і по сітці. Чого позбавлені неявні схеми.
.Ітераціонние методи ідеально підходять для сіткової схеми «хрест», метод верхньої релаксації виявився самим бистросходящімся.
.Для методу Гауса доводиться зберігати величезну матриці в пам'яті ЕОМ, що при достатньо великих N буде накладно.
Висновок
У ході роботи була вивчена різницева схема «хрест» для знаходження чисельного рішення рівняння Лапласа (еліптичне рівняння), завдання Дирихле.
Також були засвоєні і закріплені навички:
1. Використання покажчиків в середовищі matlab.
2. Програмування в середовищі matlab.
. Розробки чисельних методів для рівнянь еліптичного типу.
Були створені чотири методи реалізують разностную схему «хрест» і один метод для «методу встановлення».
Список використаної літератури
1.Самарскій А.А. Введення в чисельні методи. Навчальний посібник для вузів. 3-е изд., Стер.-СПб .: Видавництво «Лань», 2005. - 288 с .: ил.- (Підручники для вузів. Спеціальна література).
.Бахвалов Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Чисельні методи - 3-е изд, доп., і перероб.- М .: БИНОМ. Лабораторія знань, 2004. - 636 с., Іл.
.Агошков В.І., Дубровський П.Б., жартуючи В.П. Методи рішення задач математичної фізики/Под ред. Г. І. Марчука: Учеб. посібник.- М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320с.
.Метьюз Джон Р., Фінкс Куртіс Д Чисельні методи використання MATLAB, 3-е видання./Пер з англ.- М. Видавничий до «Вільямс», 2001 - 720с.
.Турчак Л. І., Плотніков П. В. Основи чисельних методів: Учеб. посібник.- 2-е изд., Перераб. І доп.- М .: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 304 с.
. # center gt; Програми
ElipYa.mfunction ElipYa (X, N, fi, E)% сітковий метод ітераційний, процес Якобі% X - Сторона прямокутника% Y - Сторона прямокутника% N - Кількість вузлів по х% K - Кількість вузлів по y% fi - функція граничної умови% E - точність h=X/N; % Рівномірна сітка по просторовим змінним x=[0: h: h * N]; % Розбиваємо сітку по змінній х y=[0: h: h * N]; % Розбиваємо сітку по перемінної у U=zeros (N + 1, N + 1); % Матриця значень сіткової функції F=zeros (N + 1, N + 1); % Матриця значень сіткової функції f (x, y)% дискретизація початкових умов і початкове заповнення матриці значень сіткової функції U (1,:)=feval (fi, x (1), y); % Перший рядок ...
