нечномірні (розмірністю N + 1) простором сіткових функцій. Очевидно, що сіткову функцію можна розглядати як вектор [1].
Можна також провести дискретизацію і простору функцій багатьох змінних, коли - точка p-мірного евклідового простору (p gt; 1). Так на площині можна ввести сітку, як безліч точок (вузлів) перетину перпендикулярних прямих,,, де - кроки сітки за напрямами і відповідно. Сітка, очевидно рівномірна по кожному з змінних окремо. Замість функції будемо розглядати сіткову функцію
Багато стаціонарні фізично завдання (дослідження завдань, пов'язаних з магнітними, гравітаційними явищами і теплопровідності) зводяться до вирішення рівняння Лапласа виду
(1)
Рішення для цього рівняння будемо шукати для деякої обмеженої області G зміни незалежних змінних x, y. Межею області G є замкнута лінія L. Для повної формулювання крайової задачі крім рівняння Лапласа потрібно задати граничну умову на кордоні L. Приймемо його у вигляді
(*)
Різницеві схеми
В області введемо рівномірну сітку
з кроками h по x і y. Замінюючи похідну по x і y різницевими виразами
в рівнянні (1) отримуємо:
(2)
У граничних умовах замінюємо безперервну функцію дискретної на області прямокутника:
За допомогою даних рівнянь можна записати систему лінійних алгебраїчних рівнянь (2) у вигляді (схема «Хрест»)
(3)
Система (3) містить 5 невідомих. І утворює систему лінійних рівнянь, де A - блочно-трехдіагональной матриця виду
, де
а матриці - діагональні матриці з елементами на діагоналі рівними одиниці. і розмірності.
Права частина системи має вигляд.
Для вирішення такої системи можна застосувати метод Гаусса з виключенням незмістовними операцій, тобто обнулення елементів. В даному випадку загальне число операцій складе величину
Ще одним з найбільш поширених методом вирішення цієї системи є ітераційний метод. Кожне рівняння запишемо у вигляді, дозволеному щодо значення в центральному вузлі:
(4)
Дану схему можна вирішити за допомогою ітераційних методів:
1. Гаусса-Зейделя,
(5)
2. Якобі,
(6)
3. Верхньої релаксації.
(7)
В алгоритмі передбачений вибір початкових значень. Ітераційний процес контролюється максимальним відхиленням M значень сіткової функції у вузлах для послідовних ітерацій. Якщо його величина досягне деякого допустимого значення точності, ітерації припиняються.
Існують і інші різницеві схеми для вирішення рівняння Лапласа. Представивши рівняння (1) у вигляді (8), де t - мінлива часу, то вихідна задача зводиться до різницевої схемою для рівняння теплопровідності, де граничні умови збігаються з умовами .Умова (9) можна вибирати практично в довільному вигляді, погодженому з граничною умовою.
Маємо, звідси можна знайти явне вираження для значення сіткової функції на (k + 1) -му шарі:
(10)
Граничні умови приймають вид
(11)
Вищеописаний метод називається «метод встановлення».
Процес чисельного рішення являє собою ітераційний процес вирішення завдання (8) з умовою (9) і (*) полягає в переході від довільного значення (9) до шуканого стаціонарного рішенню. Рахунок ведеться до виходу рішення в стаціонарний режим. Природно, обмежуються рішенням, при деякому досить великій, якщо значення шарів збігаються із заданим ступенем точності.
Умова стійкості вищеописаної схеми визначається нерівністю (12)
Розділ 2. Бібліотека функцій
У роботі розроблені наступні функції для вирішення неоднорідного одновимірного рівняння теплопровідності:
1. ElipYa (X, N, fi, E) -реалізует схему «Хрест» за допомогою методу Якобі,
2. Elip1 (X, N, fi, E) - вирішує схему «Хрест» за допомогою методу Гаусса-Зейделя.
3. ElipR (X, N, fi, t, E) - вирішує схему «Хрест» за допомогою методу верхньої релаксації.
4. ElipGauss (X, N, fi, E) - вирішує схему «Хрест» методом Гаусса.
5. ElipT1 (X, N, tau, fi, E) - зводить решаемую задачу до задачі теплопровідності і реалізує явну схему.
де x - довжина сторони квадрата сітки, N - кількість вузлів сітки по x, fi - гранична умова, E - точність обчислень. У методі верхньої релаксації t - параметр, а в явні...
