даючи -число заявок в системі у момент t, неважко показати, що процес є однорідним Марковским процесом з безліччю станів. Нижче ми покажемо, що процес являє собою ПРГ.
Випишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова. Для цього розглянемо моменти t і. Припускаючи, що в момент t процес v (t) перебуває в стані i, визначимо, куди він може потрапити в момент, і знайдемо ймовірності його переходів за час. Тут можливі три випадки.
А. i lt; n. У цьому випадку всі знаходяться в системі заявки обслуговуються на приладах (якщо i=0- заявок в системі взагалі немає). Імовірність того, що за час процес не вийде зі стану i дорівнює добутку імовірності не надходження заявки за час на ймовірність того, що за цей час не обслужили жодна з i заявок, тобто дорівнює. Імовірність переходу за час у стан i + 1 дорівнює - ймовірності надходження заявки в систему. Нарешті оскільки кожен прилад закінчить за час обслуговування знаходиться в ньому заявки з імовірністю, а таких приладів i, то ймовірність переходу в стан i - 1 дорівнює. Інші переходи мають ймовірність.
Б. n? i lt; n + r. Цей випадок відрізняється від першого тим, що обслуговуються рівно n заявок, тобто всі прилади зайняті. Значить, ймовірність через час залишитися в стані i дорівнює, перейти в стан i - 1 за цей же час
Таким чином, ми фактично довели, що процес є процесом народження та загибелі з інтенсивностями при при і при. Позначаючи через, розподіл числа заявок в системі у момент t, одержуємо наступні вирази для в разі, коли:
,
,
,
Якщо ж, те, що очевидно останнього виразу не буде, а в передостанньому індекс i може приймати значення i=n, n + 1, ....
Віднімаючи тепер з обох частин рівності, ділячи на і переходячи до межі
при, отримуємо систему диференціальних рівнянь:
,
,
, (1.2)
.
Стаціонарне розподіл черги
У разі кінцевого r, наприклад r=0, процес є ергодичним. Також він буде ергодичним у разі при виконанні умови, про який буде сказано нижче. Тоді з (1) при отримуємо, що стаціонарні ймовірності станів pi задовольняють систему рівнянь:
,
, (1.3)
,
.
Пояснимо тепер висновок системи рівнянь (1.3), виходячи з принципу глобального балансу. Так, наприклад, згідно діаграмі переходів для фіксованого стану i,, маємо, що сумарні потоки ймовірностей входить в стан i і виходить з нього рівні, відповідно, і.
Малюнок 1 Діаграма переходів
Виходячи тепер з принципу локального балансу, що баланс потоків ймовірностей між станами i і i + 1 відображається равенствами:
,
, (1.4)
є рівнянням локального балансу для даної СМО. Перевірка справедливості рівностей (1.4) проводиться безпосереднім підсумовуванням системи рівнянь (1.3) за i при i=0,1, ..., n + r - 1.
Зі співвідношення (1.4), висловлюючи рекуррентно ймовірності через,
де, а визначається з умови нормування, тобто
. (1.6)
Ясно, що формули можна отримати із загальних співвідношень для стаціонарних ймовірностей станів процесу народження і загибелі при зазначених вище значеннях і.
Якщо, то стаціонарний режим існує при кожному.
Випишемо тепер вирази для деяких характеристик черги.
Стаціонарна ймовірність негайного обслуговування заявки (обслуговування без очікування) збігається зі стаціонарною ймовірністю того, що в системі знаходиться 0,1, ..., n - 1 заявок, тобто
Розглянемо цікавить нас окремий випадок, коли r=0. тоді в системі відсутні місця для очікування (система з втратами M/M/n/0) і така система носить назву системи Ерланга . Система Ерланга описує процеси, що відбуваються в найпростіших телефонних мережах, і названа так на честь А. К. Ерланга, вперше її досліджував. Для системи M/M/n/0 стаціонарні ймовірності визначаються формулою Ерланга
,.
Отже, стаціонарна ймовірність втрати заявки визначається формулою:
,
яку також називають формулою Ерланга.
Нарешті, коли, то ми маємо систему, для якої при будь-якому стаціонарні ймовірності існують...
