ча б один числовий коефіцієнт буде негативним. Знайдемо критичне значення коефіцієнта А3, починаючи з якого, тобто при А3 gt; Акр дана САУ втрачає свою стійкість.
А1А2-А3А0=0 - САУ на межі стійкості.
А3=Акр;
А1А2=АкрА0; Акр=А1А2/А0, акр=1,22? 1,55/1=1,866
Т.а., починаючи з А3? 1,866 САУ, втрачає свою стійкість.
. Стійкість САУ можна, також, оцінити за допомогою графоаналітичного критерію А.В. Михайлова. З цією метою необхідно в характеристичний рівнянні системи замінити оператор Р на чисто уявне вираз
jw, де w- кутова частота. Отриманий многочлен можна вважати вектором, модуль і напрям якого будуть визначатися значенням частоти w
(j w)=X (w) + jY (w),
Де X (w) - речова частина; Y (w) уявна частина.
Для того, щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб вектор F (jw) брав початок на позитивній дійсній осі X (w) при w=0 в т.А0 і потім монотонно обертався при зміні w від 0 до? в позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки, здійснюючи поворот на кут n квадранта.
Годограф вектора F (jw), тобто крива, яку описує кінець вектора називається кривою Михайлова при зміні w від 0 до? , Виходить з точки А0 і обходить послідовно в позитивному напрямку n квадрантів, де n - показник ступеня характеристичного рівняння системи.
Оцінимо стійкість САУ за допомогою частотного критерію Михайлова А.В.
Р замінимо на j w.
(jw)=А3 (jw) 3+ А2 (jw) 2 + А1 (jw) + А0
F (jw)=0,381 (jw) 3 + 1,55 (jw) 2 +1,22 (jw) +1;
F (j w)=X (w) + jY (w)? X (w)=- 1,55 w 2 + 1Y (w)=j (- 0,381 w 3 + 1,22 w)
Задамося рядом чисел w
w 0123X (w) 1-0,546-5,184-12,914jY (w) 00,839-0,608-6,627
Рис.3.3
Ми побудували криву Михайлова на комплексній площині, для чого відклали дві осі - речову X (w) і уявну jY (w).
Таким чином, САУ стійка, так як вектор F (jw) бере початок при w=0 на позитивній дійсній осі X (w) в т. А0=(1; 0), далі обертається проти годинникової стрілки при зміні w від 0 до? , Здійснюючи поворот на 3 квадранта.
. Кілька особливе місце серед критеріїв стійкості САУ займає критерій Найквіста- Михайлова. Цей критерій дозволяє судити про стійкість замкнутої по АФЧХ розімкнутої САУ, яка може бути отримана розрахунковим шляхом з використанням передавальної функції системи.
При побудові АФЧХ розімкнутої АСУ спочатку слід за відомим диференціальному рівнянню цієї системи отримати вираз її передавальної Wсау (Р). Далі необхідно оператор Р замінити на уявне вираз jw (P)=M (w) + jN (w).
Кінець вектора W (Р) при зміні w від 0 до? буде описувати криву, яка збігається з АФЧХ системи. Критерій Найквіста говорить: для того, щоб АСУ, стійка в розімкнутому стані, була стійкою і в замкнутому стані, необхідно і достатньо, щоб годограф вектора АФЧХ W (jw) не охоплював точку з координатою (- 1; 0) на дійсній осі.
Оцінимо стійкість замкнутої САУ за допомогою критерію Найквіста, причому А3 кр=0,5 Акр=0,5? 1,866=0,943
Замість Р підставимо jw
(*)
Домножим рівняння (*) на зв'язаний многочлен і після перетворень одержимо
Отримаємо вид передавальної функції з урахуванням розкладання на дійсну і уявну частину
(P)=M (w) + jN (w), (w) =; (w)=
Задамося рядом чисел w
w00,10,20,30,40,50,60,70,80,911,11,21,3M(w)0.60420.60410.60340.60160.59610.57920.52840.38130.0162-0.5116-0.7190-0.6057-0.4479-0.3269jN(w)0-0.0743-0.1521-0.2381-0.3390-0.4654-0.6316-0.8411-1.0017-0.8220-0.3621-0.06010.06020.0980
Побудуємо вектор АФЧХ
Рис.3.4
Т.а. САУ стійка, т. К. Годограф вектора АФЧХ розімкнутої системи при зміні w від 0 до? не охоплює точку з координатою (- 1; 0) на дійсній осі.
Висновок: в завершенні виконаного завдання можна підвести підсумок, що розглянута САУ стійко працює - про що свідчать аналітичний критерій Рауса - Гурвіца, частотні критерії Михайлова А.В. і критерій Найквіста- Михайлова.
4. Література
1. В.В. Ніконов. Основи автоматики. Посібник з виконання контрольної роботи .: М .: МГТУ ГА, 2005 - 32 с.
2. Черкасов Б.А. Автоматика і регулювання повітряно-реактивних двигунів. М .: Машинобудування, 1988 г.
3. Шевяков А.А. Системи автоматичного управління авіаційними повітряно-реактивними силовими у...
