lign="justify"> Для розглянутого закону керування (2.35) - (2.37) усі сi повинні задовольняти (2.46). Ці умови накладають певні обмеження на вибір коефіцієнтів ci, і може виявитися, що в рамках цих обмежень рух системи в ковзному режимі, що описується рівняннями (2.40), буде нестійким. Сформулюємо і доведемо теорему про стійкість руху по гіперплощини ковзання для системи довільного порядку. p> Будемо розглядати як і раніше систему (2.34), для якої управління і визначається згідно (2.35) - (2.37), причому гіперплощина S, що задається в просторі (x1, ..., хп) рівнянням (2.38), є гіперплощиною ковзання, тобто коефіцієнти ci, що визначають положення в цьому просторі, і коефіцієнти? і? закону керування задовольняють співвідношенням (2.45), (2.46). Введемо в (2.34) замість координати xn нову координату, яка дорівнює нулю на гіперплощини перемикання. Система (2.34) запишеться наступним чином:
(2.47)
Системи (2.34) і (2.47) еквівалентні. Для системи (2.34) управління u вибрано так, що існує гіперплощина ковзання, тобто виконуються умови (2.40). Це означає, що всі коефіцієнти при х2, ..., хn-1 в останньому рівнянні системи (2.47) звертаються в нуль. Таким чином, замість (2.47) маємо
(2.48)
Відзначимо одна властивість (2.48), яке в подальшому використовуємо при формулюванні і доведенні теореми про стійкість руху системи (2.34) у ковзному режимі.
Нехай. Тоді систему (2.48) можна переписати у вигляді
(2.49)
Неважко помітити, що в цьому випадку система (2.49) має один очевидний корінь. Отже, при і при виконанні умов існування ковзного режиму характеристичне рівняння вихідної системи
(2.50)
також має корінь.
Теорема. Нехай виконані умови (2.45), (2.46). Для того щоб рух зображає крапки по гіперплощини ковзання для системи (2.34) було стійким, необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння цієї системи при, крім очевидного, лежали в лівій півплощині площині коренів. p> Припустимо, що характеристичне рівняння системи при має коріння, причому, згідно викладеному вище, один з коренів, наприклад? n, дорівнює за умовою теореми решта коріння мають негативні речові частини. У цьому випадку рішення системи (2.34) може бути представлено у вигляді
(2.51)
де Аi - постійні інтегрування, що залежать від початкових умов.
Зауважимо, що для розглянутої лінійної системи, тобто при виконанні умови (2.46) і при ? =? чинності системи (2.49) величина S змінюється за законом.
(2.52)
де А - постійна інтегрування, що залежить від початкових умов.
На початку при дослідженні питання про стійкість різних рухів в лінійній системі був відзначений той факт, що якщо в системі відсутній рух, відпо...
