відне одному з коренів характеристичного рівняння (початкові умови такі, Ак = 0), то в її фазовому просторі існує гіперплощина, яка є сукупністю траєкторій.
Нехай початкові умови такі, що рух, відповідні) корені ? n = cn-1-an, відсутня. Тоді величина s? 0, та при виконанні умов теореми чинності (2.49) рух системи описується рівняннями
(2.53)
Це рух стійко, так як за умовою теореми Re ? j <0 (j = 1, ..., n -1). Помічаємо, що (2.53) збігається з рівняннями (2.40) руху системи в ковзному режимі. Звідси доходимо висновку, що і рух в ковзному режимі стійко. Таким чином, доведена достатність умов теореми. Необхідність легко доводиться від протилежного. Дійсно, якщо (2.50) має більше одного кореня в правій півплощині, то, як випливає з (2.49), рух у ковзному режимі (2.53) не може бути стійким.
Таким чином, для системи довільного порядку були розглянуті умови існування гіперплощини ковзання і умови стійкості руху по ній. Але крім стійкості пред'являються певні вимоги і до характером протікання процесу управління при русі системи в ковзному режимі. У зв'язку з цим зупинимося коротко на питаннях, пов'язаних з отриманням бажаних динамічних властивостей ковзних рухів. Нагадаємо, що в ковзному режимі рух системи управління описується системою лінійних диференціальних рівнянь (2.40) з постійними коефіцієнтами сi, і повністю визначається цими величинами. Тому для вибору параметрів ci можна використовувати всі відомі в теорії автоматичного регулювання способи оцінки процесів в лінійній системі, з тією лише різницею, що в нашому випадку на ci накладаються специфічні обмеження (2.46), які з умов існування гіперплощини ковзання. Так, наприклад, для судження про швидкість загасання ковзних рухів можна використовувати, як непряму оцінку, ступінь стійкості і вибрати сi так, щоб мінімізувати її. Оптимальні значення параметрів сi, можна також вибирати виходячи з інтегральних оцінок. Ці методи добре відомі. Тому ми на прикладі системи зі змінною структурою третього порядку, описуваної рівняннями (2.54) - (2.56), проілюструємо застосування згаданих критеріїв якості для вибору найкращої гіперплощини ковзання. p align="justify"> Нехай для системи диференціальних рівнянь (2.34) п = 3, a1 = А2 = а3 = 0, b = 1; тоді
(2.54)
(2.55)
де
(2.56)
Як вже говорилося, при виконанні умов
(2.57)
(2.58)
в розглянутій системі виникає стійкий рух у ковзному режимі, що описується, згідно (2.40), лінійним диференціальним рівнянням
x + c2x + c1x = 0 (2.59)
з постійними параметрами С1 і С2
Виберемо, виходячи з оцінки В«ступінь стійко...
