= xi-1 + ih,
де h =, i = 1,2, ..., n.
Тоді наближене значення визначеного інтеграла від функції y = f (x) на [а, в] може бути знайдена за формулою трапецій:
В
Похибка Dот застосування формули трапецій оцінюється за формулою:
В
де М2-максимальне значення модуля другої похідної функції y = f (x) на відрізку [а, в], тобто
В
ТЕМА 12. Невласні інтеграли
Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (I роду)
Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування визначаються таким чином:
(1)
В
де з-довільне число (зазвичай з = 0).
Невласні інтеграли I роду називаються сходяться, якщо існують кінцеві межі, що стоять в правих частинах рівностей (1). Якщо ж зазначені межі не існують або нескінченні, то невласні інтеграли називаються розбіжними. p align="justify"> Ознаки збіжності та расходимости невласних інтегралів I-го роду
1.Якщо на проміжку [а; + ВҐ) безперервні функції f (x) і j (x) задовольняють умові 0 ВЈ f (x) ВЈ j (x), то з збіжності інтеграла слід збіжність інтеграла, а з расходімості інтеграла слід расходимость інтеграла (В«ознака порівнянняВ»).
. Якщо при х ГЋ [а; + ВҐ), f (x)> 0, j (x)> 0 і існує кінцевий межа то інтеграли і сходяться або розходяться одночасно (В«граничний ознака порівнянняВ»).
. Якщо сходиться інтеграл то сходиться і інтеграл який в цьому випадку називається абсолютно збіжним.
Невласні інтеграли від необмежених функцій (II роду)
Нехай функція y = f (x) - неперервна, але не обмежена на напівінтервалі [а, в). У цьому випадку інтеграл називається невласним інтегралом другого роду і, за визначенням,
В
Якщо межа, що стоїть в правій частині останнього рівності, існує і кінцевий, те цей інтеграл називається збіжним; в іншому випадку - розбіжним.
Аналогічно, якщо функція y = f (x) безперервна, але необмежена на напівінтервалі (а; в ] , то, за визначенням,
В
Якщо функція y = f (x) терпить розрив II-го роду у внутрішній точці з ГЋ [ а; в ] , то невласний інтеграл другого роду визначається формулою:
В
У цьому випадку інтеграл називається збіжним, якщо обидва невласних інтеграла, що стоять праворуч, сходяться.
Ознаки збіжності та расходимости невласних інтегралів II-го роду:
1. Якщо на проміжку [а; в) функції f (x) і j (x) неперервні, при х = у терплять розрив II-го роду і задовольняють умові 0 ВЈ f (x) ВЈ j (x), то з збіжності інтеграла слід збіжність інтеграла, а з расходімості інтеграла слід расходимость інтеграла (В«ознака порівняння").
. Нехай функції f (x) і j (x) неперервні на проміжку [а, в) і в точці х = у терплять розрив II-го роду. Якщо існує межа 0 <до <ВҐ, то інтеграли і сходяться або розходяться одночасно (В«граничний ознака порівнянняВ»). p>. Якщо функція f (x), знакозмінна на відрізку [а; в], має розрив в точці х = в і невласний інтеграл сходиться, то сходиться і інтеграл
ТЕМА 13. Диференціальні рівняння
Основні поняття
Диференційним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію деякої змінної, цю змінну і похідні різних порядків даної функції:
G (x, y, y Вў, ...,
Порядок n старшої похідної, що входить у рівняння, називається порядком цього диференціального рівняння.
Будь функція y = y (x), яка при підстановці в рівняння звертає його в тотожність, називається рішенням цього диференціального рівняння. Рішення, задане в неявному вигляді f (x, y) = 0, називається інте ГРАЛЬ диференціального рівняння.
Графік рішення (інтеграла) диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.
Рішення (інтеграл) диференціального рівняння n-го порядку залежне від n довільних незалежних постійних, називається загальним рішенням (інтегралом) цього рівняння. Рішення (інтеграл), отримане при конкретних числових значеннях цих постійних, називається приватним рішенням (приватним інтегралом) диференціального рівняння. p align="justify"> Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді:
(1) або у вигляді
M (x) N (y) dx + P (x) Q (y) dy = 0,
де f (x), M (x), P (x) -
