> деякі функції змінної х, g (y), N (y), Q (y) - функції змінної у.
Для вирішення такого рівняння його слід перетворити до виду, в якому диференціал і функції перемінної x опиняться в одній частині рівності, а змінної у - в іншій. Потім проінтегрувати обидві частини отриманого рівності. Наприклад, з (1) випливає, що
і
Виконуючи інтегрування, приходимо до вирішення рівняння (1).
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлено у вигляді:
y Вў = g (y/x),
де g - деяка функція (однієї змінної).
Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язано з однорідними функціями. Функція y = f (x, y) називається однорідної ступеня до (по змінним х і у), якщо для довільного числа a виконується рівність:
f (ax, ay) =
Якщо функція f (x, y) однорідна ступеня 0, то рівняння y Вў = f (x, y) може бути зведене до однорідного.
Заміна змінної z = y/x, де z = z (x), зводить однорідні диференціальні рівняння до рівнянь з відокремлюваними змінними.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:
y Вў + f (x) y = g (x), (2)
де f (x) і g (x) - деякі безперервні функції змінної х. У випадку, коли функція g (x) тотожно дорівнює нулю, рівняння називається однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.
Будемо шукати рішення у вигляді:
y = u (x) v (x).
Так як y Вў = u Вў v + uv Вў , то з (2) випливає u < span align = "justify"> Вў v + uv Вў + f (x) uv = g (x) або vu Вў + u (v Вў + f (x) v) = g (x). (3)
Знайдемо спочатку якесь приватне рішення v = v (x) рівняння:
v Вў + f (x) v = 0.
Тоді (див. (3)) функція u = u (x) - рішення рівняння vu Вў = g (x).
Тим самим рішення вихідного рівняння (2) зводиться до вирішення двох рівнянь з відокремлюваними змінними.
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд:
y ВІ + py Вў < span align = "justify"> + qy = r (x), (4)
де p і q - деякі дійсні числа, r (x) - деяка функція.
Якщо функція r (x) тотожно дорівнює нулю, те відповідне рівняння називається однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.
Розглянемо рішення однорідного диференціального рівняння:
y ВІ + py Вў < span align = "justify"> + qy = 0. (5)
диференціального рівняння (5) ставиться у відповідність характеристичне рівняння:
де l - змінна.
1. Якщо характеристичне рівняння має дійсні корені l 1 і l 2, причому
