ближене значення y , i = 0, 1, ..., n. Обчислення припиняються тоді, коли буде виконана умова:
R В»| y-y | < e . (6.16)
Наближеним рішенням будуть значення y , i = 0, 1, ..., n.
В
Приклад 6.2.
Застосуємо перший модифікований метод Ейлера для розв'язання задачі Коші
В
y ' ( t ) = Y -, y (0) = 1,
розглянутої раніше в прикладі 6.1.
Візьмемо крок h = 0.2. Тоді n = = 5. p> У Відповідно до (6.3) отримаємо розрахункову формулу першого модифікованого методу Ейлера:
y i + 1 = y i + hf = y i + 0.2 f , де
f = f ( t , y ) = y -,
t = t i + = t i + 0.1,
y = y i + f ( t i , y i ) = Y i +0.1,
t 0 = 0, y 0 = 1, i = 0, 1, ..., 4.
Рішення представимо у вигляді таблиці 6.3:
Таблиця 6.3
i
t i
y i
f ( t i , y i )
t
y
h f
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.1836
1.3426
1.4850
1.6152
1.7362
0.1
0.0850
0.0747
0.0677
0.0625
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
1.2682
1.4173
1.5527
1.6777
0.1836
0.1590
0.1424
0.1302
0.1210
Третій стовпець таблиці 6.3 містить наближене рішення y i , i = 0, 1, ..., 5. p> Порівняємо отримане наближене рішення з точним рішенням (6.11), представленому в таблиці 6.2. Віднм, що похибка становить R = | y ( t i ) - Y i | = 0.0042. <В
Приклад 6.3.
Застосуємо другий модифікований метод Ейлера - Коші для вирішення задачі Коші
В
y ' ( t ) = Y -, y (0) = 1,
розглянутої раніше в прикладах 6.1 і 6.2. Так само, як і раніше, задамо крок h = 0.2. Тоді n = = 5. p> У Відповідно до (6.14) отримаємо розрахункову формулу методу Ейлера - Коші:
В
y i + 1 = y i + [ f ( t i , y i ) + f ( t i + 1 ,) ] = y i + 0.1 [ f ( t i , y i ) + f ( t i + 1 ,) ],
де
f ( t i , y i ) = y i -
= y i + hf ( t i , y i ) = y i + 0.1
t 0 = 0, y 0 = 1, i = 0, 1, ..., 4.
Рішення представимо у вигляді таблиці 6.4:
Таблиця 6.4
i
t i
y i
f ( t i , y i )
t i + 1
В
f ( t i + 1 ,)
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.1867
1.3484
1.4938
1.6272
1.7542
0.1
0.0850
0.0755
0.0690
0.0645
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.3566
1.4993
1.6180
1....
