7569
0.867
0.767
0.699
0.651
0.618
Таблиця 6.4 заповнюється послідовно по рядках, спочатку перший рядок, потім друга і т. д. Третій стовпець таблиці 6.4 містить наближене рішення y i , i = 0, 1, ..., 5. p> Порівняємо отримане наближене рішення з точним рішенням (6.11), представленому в таблиці 6.2. Бачимо, що похибка становить R = | y ( t i ) - Y i | = 0.0222. p> 6.4 Метод Рунге - Кутта
Метод Рунге - Кутта є одним з найбільш уживаних методів високої точності. Метод Ейлера можна розглядати як найпростіший варіант методу Рунге - Кутта. p> Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння
y ' ( t ) = F ( t, y ( t ))
з початковим умовою y ( t 0 ) = y 0.
Як і в методі Ейлера, виберемо крок h = і побудуємо сітку з системою вузлів t i = t 0 + ih , i = 0, 1, ..., n .
Позначимо через y i наближене значення шуканого рішення в точці t i .
Наведемо розрахункові формули методу Рунге - Кутта четвертого порядку точності :
В
y i + 1 = y i + h ( k + 2 k + 2 k + k ),
k = f ( t i , y i ),
k = f ( t i + , y i + k ), (6.17)
k = f ( t i + , y i + k ),
k = f ( t i + h, y i + Hk ),
i = 0, 1, ..., n.
Оцінка похибки. Про ценка похибки методу Рунге - Кутта скрутна. Грубу оцінку похибки дає правило Рунге (див. розділ 6.2). Так як метод Рунге - Кутта має четвертий порядок точності, тобто p = 4, то оцінка похибки (6.6) прийме вид
R В»| y-y |. (6.18)
Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру наближеного обчислення рішення задачі Коші методом Рунге - Кутта четвертого порядку точності з заданої точністю e . Потрібно, почавши обчислення з деякого значення кроку h , послідовно зменшувати це значення в два рази, кожен раз обчислюючи наближене значення y , i = 0, 1, ..., n. Обчислення припиняються тоді, коли буде виконано умова:
В
R В»| y-y | < e . (6.19)
Наближеним рішенням будуть значення y , i = 0, 1, ..., n.
Приклад 6.4.
Методом Рунге - Кутта четвертого порядку точності знайдемо рішення на відрізку [0, 1] наступній задачі Коші.
y ' ( t ) = 2ty , y (0) = 1. (6.20)
Візьмемо крок h = 0.1. Тоді n = = 10. p> У Відповідно до (6.17) розрахункові формули приймуть вигляд:
В
y i + 1 = y i + h ( k + 2 k + 2 k + k ),
k = 2 t i y i ,
k = 2 ( t i +) ( y i + K ), (6.21)
k = 2 ( t i +) ( y i + k ),
k = 2 ( t i + h ) ( y i + Hk ),
i = 0, 1, ..., 10 .
Задача (6.20) має точне рішення: y ( t ) = e , тому похибка визначається як абсолютна величина різниці між точними і наближеними значеннями e i = | y ( t i ) - y i |. p> Знайдені по формулами (6.21) наближені значення рішення y i та їх похибки e i представлені в таблиці 6.5:
Таблиця 6.5
t i
y i
e i
t i
y i
e i
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.01005
1.04081
1.09417
1.17351
1.28403
<...
