о крок h = 0.2. Тоді n = = 5. p> У Відповідно до (6.3) отримаємо розрахункову формулу методу Ейлера: В
y i + 1 = y i + 0.2, y 0 = 1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. br/>
Рішення представимо у вигляді таблиці 6.1:
Таблиця 6.1
i
0
1
2
3
4
5
t i
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y i
1.0000
1.2000
1.3733
1.5294
1. 6786
1.8237
Рівняння (6.10) є рівняння Бернуллі. Його рішення можна знайти в явному вигляді:
y =. (6.11)
Для порівняння точного і наближеного рішень представимо точне рішення (6.11) в вигляді таблиці 6.2:
Таблиця 6.2
i
0
1
2
3
4
5
t i
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y ( t i )
1.0000
1.1832
1.3416
1.4832
1. 6124
1.7320
З таблиці видно, що похибка становить R = | y ( t i ) - Y i | = 0.0917. p> 6.3 Модифіковані методи Ейлера
Перший модифікований метод Ейлера. Суть цього методу полягає в наступному. Спочатку обчислюються допоміжні значення шуканої функції y в точках t = t i + за допомогою формули:
В
y = y i + f i = y i + F ( t i , y i ). br/>
Потім знаходиться значення правої частини рівняння (6.1) в середній точці
В
f = f ( t , y )
і потім покладається
В
y i + 1 = y i + hf , i = 0, 1, ..., n - 1. (6.12)
Формули (6.12) є розрахунковими формулами першого модифікованого методу Ейлера.
Перший модифікований метод Ейлера є однокроковим методом з другим порядком точності
Другий модифікований метод Ейлера - Коші. Суть цього методу полягає в наступному. Спочатку обчислюються допоміжні значення
= y i + hf ( t i , y i ). (6.13)
Потім наближення шуканого рішення знаходяться за формулою:
y i + 1 = y i + [ f ( t i , y i ) + f ( t i + 1 ,) ], i = 0, 1, ..., n - 1. (6.14)
Формули (6.14) є розрахунковими формулами другого модифікованого методу Ейлера - Коші.
Другий модифікований метод Ейлера - Коші, так само, як і перший, є однокроковим методом з другим порядком точності.
Оцінка похибки. Наближена оцінка похибки модифікованих методів Ейлера здійснюється як і для простого методу Ейлера з використанням правила Рунге (див. попередній розділ 6.2). Оскільки обидва модифікованих методу Ейлера мають другий порядок точності, тобто p = 2, то оцінка похибки (6.6) прийме вигляд
В
R В»| y-y |. (6.15)
Використовуючи правило Рунге, можна побудувати процедуру наближеного обчислення рішення задачі Коші модифікованими методами Ейлера з заданою точністю e . Потрібно, почавши обчислення з деякого значення кроку h , послідовно зменшувати це значення в два рази, кожен раз обчислюючи на...
