ється ряд
(1)
де с0, с1, ..., сn - коефіцієнти степеневого ряду.
2. Областю збіжності степеневого ряду називається сукупність тих значень х, при яких статечної ряд (1) сходиться. p align="justify">. Число R - таке, що при Г§ х Г§ < R ряд (1) сходиться, а при Г§ х Г§> R - розходиться, називається радіусом збіжності степеневого ряду. Інтервал (-R; R) називається інтервалом збіжності степеневого ряду. При х =-R, x = R ряд може як сходиться, так і розходиться.
. Радіус збіжності степеневого ряду може бути знайдений за формулою:
(2)
Формула (2) застосовна, якщо, починаючи з деякого номера n, всі сn В№ 0.
ТЕМА 15. Функції кількох змінних. Основні поняття
Область визначення
Якщо кожному набору n змінних х1, ..., хn з деякого безлічі Х відповідає одне цілком певне значення змінної z, то говорять, що задана функція кількох змінних z = f (x1, ..., xn).
Безліч Х називається областю визначення функції.
Межа функції
Число А називається границею функції z = f (x, y) при х В® х0, у В® у0, якщо для будь-якого числа e > 0 знайдеться число d < span align = "justify"> > 0, залежне від e , таке що для всіх точок (х, у), віддалених від точки (х0, у0) не більше, ніж на d , виконується нерівність Г· f (x, y) - A Г· < e .
Приватні похідні
Приватними похідними z = f (x, y) по х і у називаються межі види:
В В
Диференціал функції
Диференціалом функції z = f (x, y) називається сума добутків приватних похідних цієї функції на прирощення незалежних змінних
В
або,
враховуючи, що
Екстремум функції кількох змінних. Умовний екстремум
1. Точка М (х0, у0) називається точкою максимуму (мінімуму) функції z = f (x, y), якщо існує околиця точки М, така, що для всіх точок (х, у) з цієї околиці виконується нерівність:
f (x0, y0) Ві f (x, y) (f (x0, y0) ВЈ f (x, y).
2. Якщо в точці максимуму або мінімуму обидві приватні похідні існують і неперервні, то вони дорівнюють нулю в цій точці (необхідна умова екстремуму).
3.Якщо у точці (х0, у0) обидві приватні похідні звертаються в нуль, то характер цієї крапки визначається величиною де А = z ВІ xx, B = z ВІ xy, C = z ВІ yy.
При D > 0 мається екстремум (максимум при А < 0 і мінімум при А > 0).
При D < 0 функція в даній точці не має екстремуму.
При D = 0 питання про наявність екстремуму залишається відкритим (достатня умова екстремуму).
. Найбільше (найменше) значення функції z = f (x, y) визначається як найбільше (найменше) значення функції у замкненій області з її значень у критичних точках всередині області і на її кордоні. p align="justify">. Точка М (х0, у0) називається точкою умовного максимуму (мінімуму) функції z = f (x, y), за умови g (x, y) = C, якщо існує така...
