n align="justify"> l 1 В№ l 2, то загальне рішення рівняння (4) має вигляд:
В
2. Якщо характеристичне рівняння має один корінь l ( кратності), то загальний розв'язок рівняння (4) має вигляд:
В
. Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені, де a = - p/2, b = то загальне рішення рівняння (4) має вигляд:
В
Використання диференціальних рівнянь в економічній динаміці
Розглянемо приклади застосування диференціальних рівнянь для опису процесів мікроекономічної динаміки.
Нехай y = y (t) - обсяг виробництва деякої виробника, реалізований до моменту часу t. Припустимо, що ціна на даний товар залишається постійною (в межах розглянутого проміжку часу). Тоді функція y = y (t) задовольняє рівнянню:
y Вў = ky, (6)
де k = mpl, m - норма інвестицій, p - продажна ціна, l - коефіцієнт пропорційності між величиною інвестицій та швидкістю випуску продукції.
Рівняння (6) є рівнянням з відокремлюваними змінними. Його рішення має вигляд:
В
де у0 = y (t0).
Рівняння (6) описує також зростання народонаселення, динаміку росту цін при постійній інфляції тощо
ТЕМА 14. Ряди
Поняття числового ряду
Числовим поруч називається нескінченна послідовність чисел, з'єднаних знаком складання:
В
Числа u1, u2, ... називаються членами ряду, член un - загальним чи n-м членом ряду, сума n перших членів ряду називається n-ой часткової сумою ряду.
Ряд називається збіжним, якщо існує кінцева межа послідовності його часткових сум:
В
Число S називається сумою ряду. Якщо коньячного границі послідовності часткових сум не існує, то ряд називається розбіжним. p> Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена при n В® ВҐ дорівнює нулю (необхідна умова збіжності ряду).
При порушенні необхідної умови збіжності ряду, тобто якщо межа загального члена ряду при n В® ВҐ не існує або якщо він не дорівнює нулю, ряд розходиться. Зауважимо, що якщо межа загального члена ряду дорівнює нулю, то висновок про збіжність або розбіжність ряду можна зробити тільки після додаткового дослідження. p align="justify"> Ознаки збіжності рядів з додатними членами
1. Ознака порівняння. Нехай і - два ряди з додатними членами, і члени першого ряду не перевершують членів другого, тобто un ВЈ vn при будь-якому n. Тоді
а) якщо сходиться ряд то сходиться і ряд
в) якщо розходиться ряд, то розходиться і ряд
. Граничний ознака порівняння. Якщо і - ряди з позитивними членами і існує кінцевий межа відносини їх загальних членів:
В
то ряди або одночасно сходяться, або одночасно розходяться.
. Ознака Даламбера. Нехай для ряду з позитивними членами існує межа відносини (n +1)-го члена до n-ому:
В
Тоді при l < 1 ряд сходиться, при l > 1 і при l = ВҐ ряд розходиться. При l = 1 для відповіді на питання про збіжність ряду потрібне додаткове дослідження.
4. Інтегральний ознака збіжності. Нехай дано позитивний ряд і нехай функція f (x) така, що f (1) = u1, f (2) = u2, ..., f (n) = un, ... неперервна і не зростає при х Ві 1. Тоді для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб сходився невласний інтеграл при деякому а Ві 1. p align="justify"> Збіжність рядів з членами довільного знака
1. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться як сам ряд, так і ряд, складений з абсолютних величин його членів. p align="justify"> Ряд називається умовно збіжним, якщо сам ряд сходиться, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розходиться.
. Достатній ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду, сходиться, то сходиться і даний ряд. p align="justify">. Ряд називається Знакозмінні, якщо його члени поперемінно то позитивні, то негативні. p> 4. Ознака Лейбніца. Якщо члени Знакозмінні ряду убувають за абсолютною величиною тобто u1> u2> ...> un> ...> 0, і межа модуля його загального члена дорівнює нулю, тобто то ряд сходиться, а його сума не перевищує першого члена: S ВЈ u1.
Визначення та властивості статечного ряду
. Статечним рядом назива...
