, В, ..., X, Y, Z ми позначимо об'єкти, над якими здійснюються булеві операції Г™, Гљ, Г№. Для визначеності будемо вважати, що ці об'єкти - булеві функції деякого фіксованого числа змінних. Серед них є два особливих елементів-та: 1, 0. Це відповідно функції, приймаючі для всіх аргументів значення 0 і 1 (постійні функції - нуль і одиниця). Тоді
А Г™ В = В Г™ А, A Гљ B = B Гљ A
A Г™ (В Г™ C) = (А Г™ В) Г™ C A Гљ (В Гљ C) = (А Гљ В) Гљ C
A Г™ A = A A Гљ A = A
A Г™ 1 = A A Гљ 1 = A
A Г™ 0 = 0 A Гљ 0 = A
Г№ (A Г™ B) = Г№A Гљ Г№B Г№ (A Гљ B) = Г№A Г™ Г№B
A Г™ (B Гљ C) = (A Г™ B) Гљ (A Г™ C) A Гљ (B Г™ C) = (A Гљ B) Г™ (A Гљ C)
Г№ Г№A = A
Якщо, як це зазвичай роблять, булеві операції Гљ, Г™, Г№ вважати аналогом складання, множення і переходу до протилежного числа, то деякі з вищенаведених законів ті ж, що для числового додавання і множення, інші ж істотно відрізняються від звичних.
В
4.1.3 Завдання для учнів.
1. Чи вірно вислів: Г№ (205 кратно 5), 7 7, Г№ (8> 10); 1 ВЈ 3 ВЈ 3.
2. А - безліч точок трикутника і В - безліч точок чотирикутника.
В
Вірно Чи вислів: CГЋA Г™ CГЋB; KГЋB Г™ KГЋA; SГЋB Гљ SГЋA; Г№ (SГЋA) Г™SГЋB?
3. Відомо, що А = і, В = і, Х = л, Y = л. Знайдіть значення висловлювання:
АГљГ№Х; Г№YÙùA; AГћX; Г№ (Г№ВГљY); (AГ™B) ГљX; (XГљB) ГћY; ( XГ™A) Гћ (YГљB); Г№ (AГљX) Г™ (YГљГ№X).
4. Складіть таблицю істинності висловлювань: Г№ХГ™Х; (ХГљY) ГљГ№Y; (XГ™Y) ГљГ№X; Г№XГћY; (XГ™Y) ГћY. p> 5. Використовуючи змінні X, Y, Z, запишіть сочетательное властивість операції В«іВ».
6. Перевірте рівність (XГљY) Г™Z Вє (XГ™Z) Гљ (YГ™Z) і (XГ™Y) ГљZ Вє (XГљZ) Г™ (YГљZ), складаючи таблиці істинності для лівої і правої частини.
4.2 Предикати і квантори.
4.2.1 Предикати.
Алгебра предикатів - Той розділ математичної логіки, який безпосередньо надбудовується над алгеброю висловлювань.
Як ми бачили, одним з основних завдань алгебри висловлювань є вивчення істинності або хибності висловлювань залежно від істинності чи хибності входять до них вискази-ваний. Незважаючи на велику важливість цієї галузі логіки, вона виявляється занадто бідною для опису і для вивчення навіть найпростіших висновків науки і практики. У рамки алгебри висловлювань не вкладаються ні найпростіші укладення арифметики і геометрії, не кажучи вже про досить складних логічних висновках, з якими ми стикаємося в інших науках і в повсякденному життя.
Дійсно, розглянемо такі найпростіші ув'язнення.
З істинних висловлювань В«3 менше 5В» і В«5 менше 7В» ми укладаємо, що В«3 менше 7В». З істинних висловлювань В«Всі птахи - твариниВ» і В«Все горобці - птахиВ» ми робимо висновок: В«Все горобці - твариниВ». З висловлювань В«Петро - син ІванаВ» і В«Павло - син ПетраВ» ми укладаємо: В«Павло - онук ІванаВ» і т. д.
Зауважимо, що під ...
