d>
і
і
л
л
і
л
л
л
і
Зауважимо, що булевих функцій від n аргументів мається лише кінцеве число, а саме стільки, скільки можливо функціональних таблиць. Число можливих наборів аргументів дорівнює 2 n , а кожному набору аргументів можна незалежно один від друга зіставляти одне з значень і чи л. Таким чином, число всіляких булевих функцій від n аргументів одно - Воно дуже швидко росте із зростанням n. Вивчений-ня властивостей булевих функцій має більше значення як для алгебри та математичної логіки, так і для їх додатків в кібернетиці та теорії автоматів. Естест-венно поширити визначення висказивательную зв'язок, так як ми їх визначили вище, на булеві функції. Ми обмежимося розглядом лише зв'язок Г™, Гљ, Г№ званих булевими зв'язками (або булевими операціями). Таке обмеження виправдано тим, що, як легко перевірити, зв'язки Гћ і Г› можуть бути виражені через інші булеві зв'язки. За допомогою таблиць істинності, наведених вище, легко перевіряються наступні тотожності:
a Гћ b Вє (Г№ a) Гљ b;
a Г› b Вє (a Г™ b) Гљ (Г№ a Г™ Г№b),
які дозволяють повсюдно замінити зв'язки Гћ, Г› на Г™, Гљ, Г№.
Якщо ми тепер маємо булеві функції {F (x l , х 2 , ..., х n ), G (х 1 , х 2 , ..., х n )} від n змінних, то дія зв'язок над ними визначається природним чином:
F (x l , x 2 , ..., Х n ) Г™ G (х 1 , x 2 , ..., х n ), F (x l , x 2 , ..., х n ) Гљ G (x l , x 2 , ..., х n ), Г№F (x l , x 2 , ..., Х n ) - це такі булеві функції, які приймають значення, приписувані відповідними таблицями для кожного можливого значення аргументів. Коротко: булеві операції так переносяться на булеві функції, як дії арифметики переносяться на звичайні функції числових аргументів. Взагалі має місце далеко йде аналогія між звичайною алгеброю чисел і числовими функціями, з одного боку, і висловлюваннями і булевими функціями - з іншого. При цьому можна відзначити, що в одному певному сенсі алгебра булевих функцій простіше алгебри числових функцій: якщо розглядати лише функції деякого кінцевого числа аргументів, то таких функцій лише кінцеве число. Тому викладки з булевими функціями цілком доступні розумінню школярів старших класів.
Природно, закономірності булевої алгебри менш звичні і викликають подив і недовіру: це доля всякого нововведення.
Випишемо закони булевої алгебри. Великими латинськими літерами А...
