ідною при певному числі обчислень можна використовувати нерівність
Чисельне інтегрування
Для наближеного обчислення певного інтеграла розіб'ємо відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин точками,, ...,, ...,
(h- крок розбиття, h=(b-а)/n). Значення функції f (x) в точках розбиття xi позначимо через y. Безперервна подинтегральная функція y=f (x) замінюється сплайном - кусочно-поліноміальної функцією S (x), що апроксимує дану функцію. Інтегруючи функцію S (x) на відрізку [а, b], прийдемо до деякої формулою чисельного інтегрування (квадратурної формулою).
Залежно від функції S (x), що апроксимує подинтегральную функцію, будемо отримувати різні квадратурні формули. Якщо на кожній частині (i=1,2, ..., n) ділення відрізка [а, b] функцію f (x) замінити функцією, приймаючої постійне значення, рівне, наприклад, значенню функції f (x) в серединній точці i-ой частини, то функція S (x) матиме ступінчастий вигляд:
(x)=Si (x)=yi - 1/2=f (xi - 1/2),, i=1, ..., n
У цьому випадку
і отримуємо квадратурну формулу прямокутників:
Якщо функцію f (x) на кожному відрізку замінити її лінійною інтерполяцією по точках і, то отримаємо безперервну кусочно-лінійну функцію
,, i=1, ..., n
Тут yi=f (xi). Графіком цієї функції є ламана лінія. У цьому випадку
і отримуємо квадратурну формулу трапецій:
Можна отримати квадратурну формулу Сімпсона, звану також формулою парабол, якщо сплайн S (x), аппроксимирующий подинтегральную функцію f (x), являє собою безперервну функцію, складену з примикають парабол. Зажадаємо, щоб на відрізку парабола проходила через точки,,. Використовуючи побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа другого порядку на відрізку, отримаємо сплайн
, i=1, ..., n
Для подальших перетворень введемо змінну t [0, 1] за допомогою рівності. Значенням t рівним 0,?, 1, відповідають значення х, рівні,,. Висловимо сплайн S (x) через нову змінну t:
i=1,2, ..., n.
Враховуючи, що маємо і в результаті приходимо до квадратурної формулою парабол:
(8.3)
Наближене значення інтеграла Iпар, обчислене по квадратурної формулою парабол, можна виразити через значення Iпрям і Iтрап - результати обчислень по квадратурних формулах прямокутників і трапецій:
Похибка кожної квадратурної формули оцінюється величиною залишкового члена R (h), залежного від кроку розбиття h (або від числа розбиттів n):
Оцінки погрешностей квадратурних формул в тому випадку, коли підінтегральна функція має безперервну похідну другого порядку:
для формул прямокутників
для формули трапецій
Якщо подинтегральная функція має безперервну похідну четвертого порядку, то справедлива така оцінка похибки формули Сімпсона:
При інтегруванні статечної функції, ступінь якої не вище трьох, квадратурная формула Сімпсона дає точний результат.
Глава II. Аналіз ефективності використання чисельних методів у системі Mathcad
§1. Обчислення квадратного кореня
Формула
Якщо послідовність сходитися до нікому граничному значенню «а», то після застосування засобів формули повинно вийти «а»
§2. Метод знаходження коренів алгебраїчних рівнянь
Метод Діхотаміі
Метод Діхотаміі
§3. Ітерація дискретних функцій. Побудова сплайна для дискретної функції
§4. Чисельне Диференціювання
Чисельне диференціювання
§5. Чисельне інтегрування
Висновок
Дане дослідження моделей чисельних методів за допомогою системи комп'ютерної математики Mathcad показало, який неоціненний внесок вона вносить у вивчення і дослідження чисельних методів. Використання чисельних методів у поєднання з комп'ютерними технологіями дозволяє заощадити багато часу на складних обчисленнях, надавши їх комп'ютеру і сконцентруватися на отримання більш точного результату.
Таким чином, Mathcad завдяки своїм математичним можливостям, інтерфейсу, зручності, простоті використання є дуже потужним апаратом для численних розрахунків. На даний момент існування програми вона розширилася до 15-ї версії.
Все вищесказане сприяє ...
