.. .Таких, що
Кількість?- Загальний межа послідовностей і - є коренем рівняння f (x)=0.
Оцінку похибки рішення на n-му кроці обчислень можна отримати із співвідношення у вигляді
Тут з точністю? , Що не перевищує
Інтерполяція функцій кубічними сплайнами.
Нехай відрізок [a, b] розбитий на n частин точками {}:
.
сплайн k - ой ступеня називається функція, що є многочлен не вище k - ой ступеня на кожному з послідовно примикають один до одного інтервалів () (i=1,2, ..., n), причому в точках стику двох інтервалів xi (i=1, 2,, ..., n - 1) функція неперервна разом зі своїми похідними до порядку не вище k.
Наприклад, безперервна кусочно-лінійна функція (ламана) є сплайном першого ступеня з похідної, терпить розрив в точках зламу.
Нехай на відрізку [a, b] визначена функція y=f (x), значення якої в точках xi рівні yi=f (xi).
Завдання інтерполяції функції y=f (x) на відрізку [a, b] кубічним сплайном (сплайном третього ступеня) полягає в знаходженні функції S (x), рівної многочлену третього ступеня Si (x) на кожному відрізку [xi - 1 , xi] (i=1, 2, ..., n),
т. е. S (x)=
Причому значення сплайна в вузлах інтерполяції xi дорівнюють відповідним значенням заданої функції yi і сплайн-функція неперервна у вузлах інтерполяції разом з похідними першого і другого порядків:
mathcad програма алгебраїчний функція
(i=0, 1, ..., n - 1),,
(i=1, 2, ...., n - 1),
(i=1, 2, ..., n - 1),
(i=1, 2, ..., n - 1)
Умови (i=0, 1, ..., n - 1),,
(i=1, 2, ...., n - 1), (i=1, 2, ..., n - 1),
(i=1, 2, ..., n - 1)
дають 4n - 2 лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення 4n невідомих коефіцієнтів (p=0, 1, 2, 3; i=1, 2, ..., n)
при відповідних ступенях x в многочленів можна показати, що інтерполяційний кубічний сплайн для функції y=f (x) існує і є єдиним, якщо разом з рівняннями (4) - (7) задовольняється якась пара додаткових умов (крайових умов ) наступного типу:
.
.
.
Розіб'ємо відрізок [a, b] на n рівних частин з кроком h, для якого
..., ..., І h=(b - a)/n. Розберемо побудова інтерполяційного кубічного сплайна окремо для умов 1 і 2 типів.
При побудові сплайна, що задовольняє крайовим умовам 1 типу, введемо величини звані іноді нахилами сплайна в точках (вузлах)
(i=0, 1, ...., n). Інтерполяційний кубічний сплайн виду
(x)=(6.8)
(i=1, 2, ..., n)
задовольняє умовам (6.4), (6.5), (6.6) для будь-яких З умов (6.7) і крайових умов 1 - го типу можна визначити n + 1 параметр. Дійсно, легко перевірити, що (
(i=1, 2, ..., n). Крім того, обчислення показують, що
(i=1, 2, ..., n - 1).
Якщо врахувати, що
(i=1, 2, ..., n - 1),
(i=1, 2, ..., n - 1),
а також крайові умови 1 - го типу та умови (6.7), то отримаємо систему з n + 1 лінійних рівнянь щодо невідомих
(i=1, 2, ..., n - 1),
Рішення цієї системи дозволяє знайти значення невідомих mi і визначити інтерполяційний сплайн у вигляді співвідношення (6.8).
Матриця А системи (6.9) має порядок n + 1 і є трьох діагональної:
А=
Метод Гаусса (метод виключення невідомих) для системи (6.9) значно спрощується і носить назву методу прогону. Прямий прогонкою знаходять так звані прогоночние коефіцієнти:
L0=0, M0=b0, Mi=Li (Mi - 1 bi) (i=1, 2 ..., n - 1).
Зворотною прогонкою послідовно визначають невідомі mi:
mn=bn
mi=Li · mi + 1 + Mi (i=n - 1, n - 2, ..., 0).
Чисельне диференціювання
Нехай функція y=f (x) визначена в деякій околиці точки x0 і має похідну в цій точці, тобто існує границя відношення приросту функції? y до приросту аргументу? х при прагненні? х до нуля:
? x=x -x0,? y=f (x0 +? x) - f (x0). (7.1)
Значення похідної в точці х0 можна отримати, переходячи до межі в (7.1) по послідовності цілих чисел n і полога, наприклад,
? х=(? х) n =.
Тут (? х) 0 -Деякі початкове приріст аргументу, а - деяке число, більше одиниці, n={0,1,2,3 ....}. Тоді значення похідної функції f (x) в точці х0 запишеться так:
,
Звідси отримуємо наближена рівність
(7.2)
Для функції y=f (x), що має безперервну похідну до другого порядку включно в околиці точки х0, точність наближення похідною співвідношенням (7.2) можна встановити, скориставшись формулою Тейлора
.
Тоді
І остаточно маємо
Для досягнення заданої точності? наближення пох...
