ільшення околиці точки O (0,0) за допомогою кнопки Вибрати інтервал (повторити кілька разів). Аналогічно для функцій tgx, arcsinx, arctgx, ln (1 + x) і т.д. Еквівалентні нескінченно малі.
. Побудова послідовності точок на осі Ox (натиснути кнопку Додати графік таблиці, заповнити стовпці з клавіатури або використовувати команду Заповнити). Побудова у вигляді окремих точок графіків функцій y=f (n) при натуральних n (за допомогою кнопки Додати графік таблиці), трасування графіків. Складання для таких функцій таблиці значень при великих n (за допомогою кнопки Таблиця значень). Поняття послідовності. Обчислення границі послідовності.
. Побудова графіка функції y=sinx/x і складання таблиці значень цієї функції при x, близьких до нуля. Складання таблиці значень послідовності (1 + 1/n) n при великих n. Обчислювальний експеримент, пов'язаний з першим і другим чудовим межею.
. Складання таблиці значень відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу близько до нуля (за допомогою кнопки Таблиця значень). Обчислювальний експеримент, пов'язаний з поняттям похідної в точці.
. Побудова дотичних і нормалей до графіка функції y=f (x) (за допомогою кнопки Дотична або нормаль). Збільшення околиці досліджуваної точки графіка за допомогою кнопки Вибрати інтервал (повторити кілька разів). Геометричний зміст похідної. Обчислювальний експеримент, пов'язаний з поняттям дотичній і диференціала.
. Обчислення першої та другої похідної, а також їх значень в окремих точках (за допомогою кнопок Похідна та Таблиця значень). Правила диференціювання функцій. Похідні вищих порядків.
Побудуємо, наприклад, графік функції y=sinx/x (див. рис. 2). Натиснемо кнопку Таблиця значень і для побудованої функції обчислимо її значення при з кроком 0.05.
Рис. 16. Вивчення першого чудового межі.
.3 Дослідження функцій за допомогою похідної
. Побудова графіків функцій y=f (x), трасування графіків. Обчислення похідних (за допомогою кнопки Похідна) і побудова графіків похідних. Дослідження функції на монотонність і екстремуми по виду графіка і дослідження поведінки її похідної.
. Побудова графіків функцій y=f (x), і відшукання точок екстремуму за допомогою команди Екстремуми в діалоговому вікні кнопки Дослідження функції. Обчислення похідної функції y=f (x), за допомогою кнопки Похідна і відшукання нулів похідною за допомогою команди Нулі функції в діалоговому вікні кнопки Дослідження функції. Дослідження функцій на монотонність і екстремуми за допомогою похідної.
. Побудова графіків функцій y=f (x), і їх дотичних (за допомогою кнопки Дотична або нормаль)?? деяких точках, трасування графіків. Дослідження функцій на опуклість і увігнутість, точки перегину за допомогою дотичних.
. Обчислення другої похідної функції y=f (x), (за допомогою кнопки Похідна) і відшукання нулів другої похідної (за допомогою кнопки Дослідження функції). Дослідження функцій на опуклість, увігнутість, точки перегину за допомогою другої похідної.
. Побудова графіків функцій y=f (x), і їх похилих і вертикальних асимптот, трасування графіків. Збільшення досліджуваних частин графіка за допомогою кнопки Вибрати інтервал (повторити кілька разів). Асимптоти кривих. Повне дослідження функцій і побудова їх графіків.
. Побудова графіка функції y=f (x) ,, відшукання точок перетину графіка з віссю абсцис (за допомогою кнопки Дослідження функції або кнопки Перетини). Побудова двох графіків функцій і відшукання точок їх перетину (за допомогою кнопки Перетини). Додаткові побудови для відшукання декількох перших наближень до кореня рівняння виду f (x)=0 методом хорд або методом дотичних. Наближене рішення рівнянь виду f (x)=0 методом хорд або методом дотичних. Відшукання (точне або наближене) коренів многочленів і нулів функцій виду y=f (x).
Для прикладу побудуємо графік функції на проміжку від - 10 до 10 (див. рис. 17). Досліджуємо її на опуклість і увігнутість. Натиснемо кнопку Похідна та побудуємо графік першої похідної, отримавши також її аналітичний вираз. Якщо у Списку функцій виділити першу похідну, і ще раз натиснути кнопку Похідна, то можна побудувати графік другої похідної від вихідної функції і отримати її аналітичний вираз (зауважу, що вид виразів для похідних в програмі Advanced Grapher не дуже зручний). Тепер натиснемо кнопку Дослідження функції і в діалоговому вікні в полі Y (x) виберемо потрібну з трьох побудованих функцій (другу похідну). Знайдемо нулі другої похідної (на зазначеному проміжку), це - 3, 0, 3. Знаки другої похідної у відповідних інтервалах визначаємо за її графіком. Робимо остаточний висновок про проміжках опуклості і угнутості даної функції і наявності точок перегину. За допомогою кнопки Трасування знаходимо координати точок перегину, це (- 3, - 3), (0,2), (3,7). Або ж натиснемо кнопку Таблиця значень, ...
