ожна з цих точок буде оптичним зображенням інший при ламанні променів на цій анаберраціонной поверхні. При цьому на кутову ширину пучка променів не накладається ніяких обмежень.
Повернемося до дослідження характеру екстремуму оптичної довжини променя при ламанні. Наші міркування нічим не відрізнятимуться від міркувань, проведених вище для еліпсоїдального дзеркала. Припустимо, наприклад, що середовища межують один з одним уздовж поверхні S (рис. 8), що стосується анаберраціонной поверхні в точці A. Тоді падаючий промінь після заломлення в точці А знову пройде через точку Р '. Нехай поверхня S звернена увігнутістю в ту ж сторону, що і анаберраціонная поверхню, і має в точці дотику велику кривизну. Тоді при зміщенні точки падіння уздовж S вона виявиться в менш заломлюючої середовищі. Отже, зміщений шлях буде мати меншу оптичну довжину, ніж дійсний: час поширення світла вздовж дійсного шляху максимально. Навпаки, коли кривизна поверхні S в точці дотику А менше кривизни анаберраціонной поверхні, а також тоді, коли поверхня S звернена увігнутістю в протилежну сторону, то час поширення уздовж дійсного шляху мінімально. Зокрема, воно Мінімально при ламанні на плоскій поверхні.
(10)
. Висновок законів геометричної оптики з принципу Ферма
Нехай світло, виходячи з точки Р. приходить в точку Q, заломлюючись на плоскій границі розділу двох середовищ (рис. 9).
Проведемо через і площина нормально до кордону розділу (площина падіння). Будь-який шлях. лежачий поза площиною падіння, проходиться світлом за більший час, ніж шлях, проведений в площині падіння так, щоб Про з'явилося слідом перпендикуляра, опущеного з на площину падіння. Дійсно, як у першій, так і в другому середовищі довжини шляхів, що проходять через, відповідно більше, ніж через O (і).
Отже, в згоді з принципом Ферма шлях, що вимагає мінімального часу, повинен лежати в площині падіння (перший закон заломлення). Для того щоб з усіх шляхів від Р до Q, що лежать у площині падіння, вибрати шлях, що вимагає мінімального часу, досліджуємо, як змінюється цей час в залежності від положення точки О на лінії перетину площини падіння і площини розділу.
Положення точки О визначено довжиною відрізка АТ=х, де А - слід перпендикуляра, опущеного з Р на площину розділу. Час поширення світла по шляху POQ є
(11)
де і - швидкості світла в першій і другій середовищах. Позначивши, знайдемо, що
(12)
Умова, що визначає, при якому значенні х цей час буде мінімально, є рівність нулю З нього випливає:
(13)
т.е.
(14)
або
(15)
Таким чином, з принципу Ферма випливає закон заломлення світлових променів. Закон відображення променів.
Нехай світло потрапляє з точки А в точку В, відбившись від поверхні MN (рис. 10). Середа, в якій проходить промінь, однорідна. Тому мінімальність оптичної довжини шляху зводиться до мінімальності його геометричній довжини. Геометрична довжина довільно взятого шляху дорівнює (допоміжна точка А є дзеркальним зображенням точки A). З малюнка видно, що найменшою довжиною обладаетпуть променя, відбилася в точці О, для якого кут відбиття дорівнює куту падіння. Зауважимо, що при видаленні точки О від точки О геометрична довжина шляху необмежено зростає, так що в даному випадку мається тільки один екстремум - мінімум.
Розглянемо тепер відбиття світла від викривленої поверхні, що стосується площини в тій точці О, в якій відбувалося б відображення у разі площині (рис. 11). На малюнку показані два приклади таких поверхонь, вигнутих в протилежні сторони: IOI, що стосується знизу, і IIОII, що стосується зверху осі абсцис. (Ми розглядаємо циліндричні поверхні з твірними, перпендикулярними площині креслення.)
Можна показати, що при цьому досить розглядати промені, що лежать в площині малюнка, і перетину відображають поверхонь площиною креслення. Тому надалі будемо говорити не про відображає площині, а про відбиває прямий, не про відображають кривих поверхнях, а про відображають кривих лініях 101 і IIОII в площині рис. 11.
Для розгляду завдання не треба конкретних обчислень. Відомо, що відстань між кривою і дотичній пропорційно де х0 позначає абсциссу точки дотику О.
Розглянемо довжини ламаних і. Самі ці ламані на рис.11 не показані, щоб не затінювати креслення, точки Оп,, як видно на малюнку, лежать правіше точки дотику О, при одному і тому ж значенні х; при цьому Оп лежить на прямій, - на нижній лінії I, - на верхній лінії II. Бачачи на малюнку точки І, А, Оп,,, неважко уявити собі і ламані лінії.
Абсциси Оп ,, однакові. Ординати Оп ,, відрі...
