/>
.
Знайшовши похідну від (1.4.5)
, (1.4.11)
підставимо вираз (1.4.11) в граничні умови (1.4.8) і (1.4.9):
для
, (1.4.12)
Для
, (1.4.13)
Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях в лівій і в правій частинах рівнянь (1.4.11) - (1.4.12), отримаємо системи рівнянь.
(1.4.14)
(1.4.15)
(1.4.16)
......... ... ...... ......... .. ................... .............
(1.4.17)
Із системи рівнянь (1.4.14) визначимо коефіцієнти. Знаходимо основний визначник
,
,,
отримаємо коефіцієнти
. (1.4.18)
Із системи рівнянь (1.4.15) визначимо коефіцієнти. Підставляючи значення, отримаємо
Знайшовши основний визначник і скориставшись формулою Крамера
,
,
,
матимемо
(1.4.19)
Із системи рівнянь (1.4.16) аналогічно визначимо коефіцієнти, підставляючи знайдені і. Зробимо заміну:
(1.4.20)
(1.4.21)
Підставляючи (1.4.20) і (1.4.21) в систему (1.4.16), отримаємо
;
,
,
(1.4.22)
Аналогічно знаходимо такі коефіцієнти. Методом математичної індукції визначимо коефіцієнти для -індекс
,
,
,
отримаємо
(1.4.23)
Підставимо значення коефіцієнтів (1.4.18) - (1.4.23) в (1.4.5) і отримаємо рішення в замкнутому вигляді.
2 розв'язування рівняння теплопровідності з розривними коефіцієнтами ТА ЙОГО ДОДАТОК В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОНТАКТАХ
.1 Вирішення рівняння теплопровідності з розривним коефіцієнтом
Постановка завдання. Знайти рішення системи
(2.1.1)
(2.1.2)
з граничними умовами
(2.1.3)
(2.1.4)
і умовами спряження
(2.1.5)
(2.1.6)
де - невідомі постійні величини. Якщо, то рішення задачі зазнає розрив в точці. Тому ми будемо вимагати тільки обмеженості рішення в околиці.
Рішення поставленої задачі будемо шукати у вигляді
, (2.1.7)
,
де і - довільні постійні.
Очевидно, що перший доданок в (2.1.7) задовольняє неоднорідним рівнянням (2.1.1) і (2.1.2) і п'яте доданок в (2.1.7) задовольняє однорідному рівнянню
(2.1.8)
Покажемо, що друге, третє складові задовольняють однорідному рівнянню (2.1.8). Для цього знайдемо похідні від, по і по два рази
Підставляючи знайдені похідні в однорідне рівняння (2.1.8), матимемо:
.
Тим самим доведено, що друге і третє складові задовольняють диференціального рівняння (2.1.8).
Четверте доданок як тепловий потенціал простого шару також задовольняє однорідному рівнянню (2.1.8). Справді, знаходячи похідні від по і по два рази:
,
і підставляючи знайдені значення похідних у рівняння (2.1.8), доводиться, що функція задовольняє рівнянню (2.1.8).
Довільніпостійні і визначимо так, щоб функції задовольняє умовам (2.1.3) - (2.1.6). Для цього попередньо перетворимо тепловий потенціал простого шару. Нехай
. (2.1.9)
. (2.1.10)
Виробляючи в лівій частині рівності (2.1.10) заміну:
,
,,
матимемо
.
Тепер виробляючи ще раз заміну перепишемо (2.1.10) в наступному вигляді:
. (2.1.11)
Використовуючи значення інтеграла в правій частині [7]:
,
запишемо (2.1.11) так
Якщо або, то. Отже,
,
а якщо, то.
Визначення коефіцієнтів. Тепер залишається підібрати довільні коефіцієнти,, і, так, щоб виконувалися умови (2.1.3) - (2.1.6). Переходячи до межі при прагне до з умови (2.1.3), одержимо рівняння
Прирівнюючи коефіцієнти при в лівій і правій частині, маємо:
(2.1.12)
Тепер, переходячи до межі при прагне до з умови (2.1.4), по?? вчимо
(2.1.13)
Використовуючи умову (2.1.5), матимемо
звідки
(2.1.14)
Так як
,
і на підставі умови сполучення (2.1.6) маємо
,
т.е. повинно бути
(2.1.15)
Системи рівнянь (2.1.12) - (2.1.15) розпадаються на дві незалежні системи:
(2.1.16)
(2.1.17)
Із системи (2.1.16) знаходимо коефіцієнти,:
,
(2.1.18)
<...
