br />
і підставляючи отримані значення і в систему рівнянь (2.1.16), маємо
(2.1.19)
Із системи (2.1.19) знаходимо і, підставляючи в перше рівняння, отримаємо
. (2.1.20)
Праву частину рівняння (2.1.20) можна перетворити
, (2.1.21)
Враховуючи значення, визначимо:
, (2.1.22)
Тепер знаходячи коефіцієнт і підставляючи в перше рівняння (2.1.17), отримуємо систему рівнянь щодо і:
(2.1.23)
Із системи (2.1.17) визначаємо постійну.
, (2.1.24)
знайдене значення підставляємо в (2.1.23)
. (2.1.25)
Беручи до уваги значення і, знаходимо:
. (2.1.26)
Підставляючи знайдені коефіцієнти з (2.1.18) - (2.1.26) в рішення (2.1.7), отримаємо рішення крайової задачі в замкнутому вигляді:
,
.
.2 Розрахунок мостиковой ерозії при відключенні струму
В якості практичного застосування отриманих результатів ми розглянемо мостикову ерозію електричних контактів.
При розмиканні електричних контактів між ними утворюється місток з розплавленого металу електродів. Якщо при цьому дугового розряд відсутній, то зазначений рідкий місток є основним джерелом перенесення матеріалу з одного електрода на інший. Для слабо навантажених реле постійного струму перенесення матеріалу за допомогою рідкого містка є дуже шкідливим явищем, що призводить до передчасного зносу контактів і до помилкового спрацьовування при малих контактних силах.
Відомо, що температурні поля в рідкому циліндрі і в сполучених з ним твердих контактах-електродах є одновимірними. Тому виберемо вісь так, щоб вона збіглася з віссю циліндра, а початок координат візьмемо в точці контакту двох електродів.
Завдання про просування рідкої фази контакту всередині твердих електродів можна звести до аналогічної задачі про промерзанні. Використовуючи наближений метод вирішення таких завдань [8], просування рідкої фази всередині твердої можна виразити таким рівнянням:
(2.2.1)
де - коефіцієнти, що визначаються з рівнянь
(2.2.2)
де - температури кипіння і плавлення;- Питома вага.
Довжина рідкого містка в будь-який момент часу може бути визначена таким чином:
, (2.2.3)
У більшості контактних матеріалів має однаковий порядок зі значенням швидкості розбіжності контактів. Отже, при малих значеннях, тому ми надалі будемо нехтувати величиною.
Середній діаметр рідкого містка визначається формулою
, (2.2.4)
де - відношення мінімального діаметру в середній частині містка до максимальному діаметру на аноді;- Коефіцієнт пропорційності, - сила струму.
Якщо електричні контакти складаються з одного матеріалу, тоді
,
де - питомий опір, - питома теплоємність, - площа середнього поперечного перерізу містка. Але внаслідок тунельного ефекту температура катода, отже.
, (2.2.5)
.
У кінцевому рахунку нас цікавить обсяг перенесеного металу за одне відключення, - координата точки, де температура раніше всього досягає значення температури кипіння. Знаходження і відповідного значення часу зводиться до екстремальної задачі для неявної функції, тобто визначенню кореня системи
(2.2.6)
Для лівій частині містка останні рівності приймають вид
(2.2.9)
або на підставі формул (4.9), (4.10) і (4.11) ми маємо:
(2.2.10)
звідси
(2.2.11)
(2.2.12)
Аналогічно для правої і частини містка отримаємо формули:
(2.2.13)
(2.2.14)
Легко бачити, що і мають різні знаки, тому рівняння (2.2.14) має єдиний корінь, а (2.2.12) коренів не має. Фізично це відповідає тому, що місток може згоріти тільки в одному місці - зліва чи справа.
Підставляючи знайдене значення (або) в (2.2.11) (або а (2.2.13)), визначаємо час згоряння містка (або), а потім знаходимо координату точки горіння за формулою
або відповідно формулою
.
Обсяг перенесеного матеріалу за одне відключення визначиться за формулою
.
Приклад розрахунку. Проведемо розрахунок мостиковой ерозії для платинових електродів при відключенні струму, рівного одному амперу. Теплофізичні константи платини мають такі значення:,,,,,,,
Діаметр рідкого містка для платини знайдемо за формулою
Температура катода при радіусі контактної поверхні визначається наступним чином:
Середня температура та області плавлення анода буде дорівнює:
З...
