жок [t1, t2], дорівнює
Якщо - щільність теплових джерел, то кількість тепла, утвореного за їх рахунок у? за вказаний проміжок часу, дорівнює
Загальна кількість тепла притікає в? за час від t1 до t2 можна порахувати і за рахунок збільшення температури
де і - теплоємність і щільність речовини. Тоді
У силу довільності? і проміжку часу t1, t2, слід рівність
, (5)
зване рівнянням теплопровідності. Якщо (не залежить від температури), то рівняння (5) стає лінійним. Якщо ж тіло однорідний і рівняння (5) набуде вигляду [18, c.196]:
(6)
З фізичних міркувань випливає, що для однозначного опису процесу поширення тепла необхідно окрім рівняння, задати початкове розподіл температури
- початкова умова і температурний режим на кордоні
- гранична умова, (можливі й інші варіанти завдання граничних умов).
2. Використання імовірнісних методів у вирішенні рівнянь в приватних похідних
. 1 Загальний опис методів Монте-Карло
Далеко не завжди вдається знайти рішення диференціального рівняння в приватних похідних аналітичним шляхом. У випадках, що не припускають знаходження рішення рівняння аналітично, використовуються чисельні методи.
У рамках даної роботи розглядається група числ?? нних методів, заснована на математичному апараті теорії ймовірностей, звана методами Монте-Карло.
Загальноприйнятого визначення методів Монте-Карло поки немає. Назвемо методами Монте-Карло чисельні методи рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин і статистичної оцінки їх характеристик. При такому визначенні доводиться до методів Монте-Карло зарахувати деякі інші методи, як, наприклад, стохастичні наближення або випадковий пошук, які за традицією розглядаються окремо. Однак фахівці, що займаються цими питаннями, нерідко самі називають свої прийоми методами Монте-Карло. У той же час у визначенні підкреслюється що [10, c.58]:
а) йдеться про чисельні методи (і конкурувати вони можуть з класичними чисельними методами, а не з аналітичними методами вирішення завдань);
б) вирішувати методами Монте-Карло можна будь-які математичні задачі (а не тільки завдання імовірнісного походження, пов'язані з випадковими величинами).
Офіційною датою народження методів Монте-Карло вважають 1949, коли з'явилася стаття під заголовком «Метод Монте-Карло». Виникнення методу пов'язують зазвичай з іменами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополіса, а також Г. Кана і Е. Фермі; всі вони в 40-х роках працювали в Лос-Аламосі (США) [10, c.69].
Необхідно відразу ж підкреслити, що теоретичні основи методів Монте-Карло були відомі значно раніше. Більше того, фактично такі методи не раз використовувалися для розрахунків в математичній статистиці. Проте до появи електронних обчислювальних машин (ЕОМ) методи Монте-Карло не могли стати універсальними чисельними методами, бо моделювання випадкових величин вручну - досить трудомісткий процес [10, c.89].
Розвитку методів Монте-Карло сприяло бурхливий розвиток ЕОМ. Алгоритми Монте-Карло (як правило, володіють невеликою связностью) порівняно легко програмуються і дозволяють розраховувати багато завдання, недоступні для класичних чисельних методів. Так як вдосконалення ЕОМ триває, є всі підстави очікувати подальшого розвитку методів Монте-Карло і подальшого розширення області їх застосування.
Найважливіший прийом побудови методів Монте-Карло - зведення задачі до розрахунку математичних очікувань. Більш докладно: для того щоб наближено обчислити деяку скалярну величину а, треба придумати таку випадкову величину, що; тоді, обчисливши незалежних значень величини, можна вважати, що.
Приклад. Потрібно оцінити обсяг деякої обмеженої просторової фігури.
Виберемо паралелепіпед, що містить, обсяг якого відомий. Виберемо випадкових точок, рівномірно розподілених в, і позначимо через кількість точок, що потрапили в. Якщо велике, то, очевидно,:, звідки отримуємо оцінку.
У цьому прикладі випадкова величина дорівнює, якщо випадкова точка потрапляє в, і дорівнює нулю, якщо точка потрапляє в. Неважко перевірити, що математичне очікування, а середнє арифметичне
.
Легко бачити, що існує нескінченно багато випадкових величин таких, що. Тому теорія методів Монте-Карло має дати відповіді на два питання [7, c.87]:
) як вибрати зручну величину для розрахунку тієї чи іншої задачі;
) як знаходити значення довільної випадкової величини?
Вивчення цих питань і повинно скласти основний зміст практичного курсу методів Монте-Карло.
Багато методи засновані на ...
