типах рівнянь.
З курсу звичайних диференціальних рівнянь відомо, що рішення диференціального рівняння n-го порядку
(1)
визначається неоднозначно. Загальне рішення залежить від n довільних постійних і для однозначної розв'язності необхідно задати так звані початкові умови
(2)
Рішення задачі для рівняння (1) з початковими умовами (2) називається задачею Коші і за певних умов рішення цієї задачі існує і єдино [5, c.78].
Більш складна ситуація складається при розгляді диференціальних рівнянь в приватних похідних. Справді: спільним рішенням найпростішого рівняння є довільна функція
Для того, щоб зробити рішення певним, потрібно задати додаткові умови, наприклад, вимагати щоб невідома функція, а можливо і її похідні брали задані значення на деяких многовидах. Кожна задача математичної фізики ставиться як завдання про відшукання рішення деякого рівняння при певних додаткових умовах, які в більшості випадків диктуються її фізичної постановкою [5, c.128].
1.2 Фізичні задачі, що приводять до рівнянь в приватних похідних
Розглянемо деякі фізичні завдання, вирішення яких призводять до рівнянь в приватних похідних.
Завдання 1 (про поперечних коливаннях струни).
Нехай струна довжиною l натягнута з силою Т 0 і знаходиться в прямолінійній положенні рівноваги. У момент часу t=0 точкам струни повідомляються деякі відхилення і швидкості [12, c.145].
Поставимо задачу про визначення малих поперечних коливань точок струни при t gt; 0, якщо кінці струни:
а) жорстко закріплені,
б) вільні,
в) рухаються в поперечному напрямку за заданими законами.
Опором середовища і силою тяжіння нехтуємо.
Рішення. Нехай вісь ох збігається з початковою становищем струни в положенні рівноваги
Виділимо ділянку струни від А до В і спроектуємо всі діючі на цю ділянку сили на вісь u. Згідно з принципом Даламбера сума проекцій повинна дорівнювати нулю.
так як ми розглядаємо малі коливання і - малою величиною нехтуємо.
Це означає, що подовження ділянки струни не відбувається і, отже, за законом Гука величина натягу не залежить ні від часу, ні від х.
Проекція сили натягу
Нехай - безперервна лінійна щільність зовнішніх сил. Тоді на АВ діє уздовж осі u сила
Для знаходження сили інерції скористаємося виразом де Тоді
Це і є рівняння вимушених коливань струни.
Якщо?=const і те
(2)
Крім того, шукана функція u (х, у) повинна задовольняти початковим умовам:
- початкове положення струни
- початковий імпульс.
Крайові умови:
а) струна закріплена на кінцях
,
б) у разі вільних кінців повинно бути
в) - закони руху решт струни.
Завдання 2. Рівняння нерозривності. Завдання обтікання.
Розглянемо рух ідеальної рідини (газу), тобто рідини в якій відсутні сили в'язкості [18, c.196].
Нехай - вектор швидкості руху рідини, -її щільність, - інтенсивність джерел. Виділимо в рідині деякий обсяг?, Обмежений поверхнею S. Зміна маси рідини усередині? в одиницю часу дорівнює
з іншого боку це зміна має дорівнювати приросту кількості Q1 рідини за рахунок джерел
мінус кількість Q2, яка витікає через S
- формула Остроградського-Гаусса,
де - зовнішня нормаль до S, таким чином
У силу довільності?
(3)
Це і є рівняння нерозривності руху ідеальної рідини.
Розглянемо тепер задачу обтікання твердого тіла? з кордоном S потенційним потоком нестисливої ??однорідної рідини, що має задану швидкість на нескінченності за відсутності джерел. У цьому випадку і Тому: за умови
Нехай u -потенціал швидкостей, тобто тоді
і
,
тому
(4)
Завдання 3. Про поширення тепла
Висновок рівняння теплопровідності базується на законі Фур'є, згідно з яким кількість тепла, що проходить за час? t через малу площадку? S, лежачу всередині розглянутого тіла, визначається формулою
де - нормаль до? S, спрямована в бік передачі тепла, k (x, u) - коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, u (x, t) - температура тіла в точці в момент часу t. Передбачається, що тіло изотропно відносно теплопровідності, тобто k (x, u) не залежить від напрямку майданчики [18, c.165].
Виділимо всередині тіла обсяг?, обмежений S. Відповідно до закону Фур'є, кількість тепла, втікає через S за промі...
