розрахунку математичних очікувань. Існують методи випадкового пошуку (окрім простого) і стохастичних наближень [10, c.105].
Серед методів Монте-Карло можна виділити методи, в яких повністю відтворюється модель розраховується процесу. Такі методи іноді називають «фізичними», хоча автору видається більш вдалим інша назва цих методів - імітаційні. Імітація природних процесів широко використовується в самих різних галузях науки, техніки, економіки.
. 2 Рішення рівнянь в приватних похідних методом Монте-Карло на прикладі задачі Діріхле для рівнянь Лапласа і Пуассона
Визначення. Функція, що має безперервні приватні другого порядку в області і яка задовольнить всередині рівнянню Лапласа, називається гармонійної функцією [15, c.78]:
.
Найпростішим прикладом гармонійної функції двох змінних є функція виду, де (основне рішення рівняння Лапласа).
Завдання Діріхле в інших термінах може бути сформульована таким чином: знайти функцію, безперервну в даній замкнутої області, гармонійну в області та приймаючу на її кордоні безперервні задані значення.
Якщо, то завдання Дирихле задовольняє рівнянню Пуассона Единственность рішення задачі Діріхле і безперервний запис її від крайових умов (коректність крайової задачі) випливають з наступних гармонійних функцій [14, c.40].
Властивість 1 (принцип максимуму). Гармонійна в обмеженій області функція, безперервна в замкнутій області, не може приймати всередині цієї області значень більших, ніж максимум її значень на кордоні безперервні задані значення [14, c.45].
Доказ. Нехай - максимум значень на кордоні. Припустимо, що функція в деякій точці всередині приймає значення, причому.
Складемо допоміжну функцію
,
де - Діаметр області. Очевидно, маємо
,
причому при виконується нерівність
.
Отже, функція досягає свого найбільшого значення всередині області в деякій точці, причому в цій точці будуть виконані необхідні умови для максимуму функції [13, c.28]:
.
Зі співвідношення
втекти, що принаймні одна з похідних або позитивна всередині. Тому функція ні в якій конкретній точці області не може мати максимуму, і, отже, приходимо до протиріччя. Таким чином,.
Аналогічно доводиться, що, де - найменше значення функції на кордоні.
Слідство. Нехай функція - гармонійна в обмеженій області і безперервна в замкнутій області. У такому випадку справедливо рівність, де на, на.
Зауваження. Можна довести більш сильне твердження, що гармонійна в обмеженою і замкнутою області функція, відмінна від константи, не приймає всередині найбільшого і найменшого значень.
Властивість II (єдність розв'язку задачі Діріхле). Завдання Дирихле для замкнутої і обмеженої області може мати лише єдине рішення, т. Е. Не існує двох безперервних гармонійних функцій в замкнутій обмеженій області, що приймають, на кордоні одні й ті ж значення [14, c.202].
Доказ. Припустимо, що дві функції і гармонійні в області, збігаються всюди на її кордоні. Розглянемо функцію
.
Очевидно, що на - гармонійна функція, яка звертається в нуль на кордоні. По властивості I ця функція не може приймати всередині значень більше або менше нуля, отже, всередині і.
Зауваження. З властивості II не випливає, що задача Діріхле для обмеженій замкненій області має рішення; це властивість лише стверджує, що якщо існує рішення задачі Діріхле для області, то воно єдино [14, c.158].
Можна довести, що якщо область опукла, т. е. разом з двома своїми точками містить з'єднує їх відрізок, і кордон її дійсно має рішення (теорем Неймана).
Властивість III (коректність задачі Діріхле). Рішення задачі Діріхле для замкнутої і обмеженої області безперервно залежить від граничних даних.
Доказ. Припустимо, що і - рішення задачі Діріхле, відповідно приймає на кордоні значення і.
Нехай усюди на виконана нерівність
,
де - довільне мале позитивне число.
Розглянемо гармонійну функцію
.
На кордоні ця функція приймає значення
.
Так як на, то по властивості I маємо при, тобто або.
Таким чином, для задачі Діріхле вимога коректності виконано при.
Нехай на площині дана область з кусково-гладкою межею. В області побудуємо квадратну сітку з кроком:
, (1)
Ми припускаємо, що сітка складається з внутрішніх вузлів і граничних вузлів першого роду. Граничні вузли сітки утворюють її кордон. Грубо кажучи, межа являє собою лінійний ряд точок, аппроксимирующий криво-криволінійну кордон області з точністю до.
Уявімо собі частинку, яка здійснює рівномірни...
