. (1.21)
Рішення цієї гри слід починати з відшукання седловой точки в чистих стратегіях. З цією метою знаходять мінімальний елемент в першому рядку і перевіряють, чи є він максимальним у своєму стовпці. Якщо такого елемента не знайшли, то аналогічно перевіряють другий рядок. Якщо у другому рядку такий елемент знайдений, то він є Седлова. [2]
відшукання седлового елемента, якщо такий є, закінчується процес знаходження її вирішення, тому що в цьому випадку знайдена ціна гри -седловой елемент і сідлова точка, т. е. пара чистих стратегій, для першого і другого гравця , складових оптимальні чисті стратегії. Якщо ж седловой точки в чистих стратегіях не виявилося, то треба відшукати седловую крапку в змішаних стратегіях, яка обов'язково існує згідно з основною теоремою матричних ігор. [2]
Позначимо через х=(х 1, х 2), у=(у 1, у 2) змішані стратегії відповідно першого і другого гравців. Нагадаємо, що х 1 означає ймовірність застосування першим гравцем своєї першої стратегії, а х 2=1 - х 1 - ймовірність застосування ним своєї другої стратегії. Аналогічно для другого гравця: у 1 - ймовірність застосування їм першої стратегії, у 2=1 - у 1 - ймовірність застосування ним другої стратегії.
Згідно слідству з теоремі, для оптимальності змішаних стратегій х і у необхідно і достатньо, щоб для невід'ємних х 1, х 2, у 1, у 2 виконувалися наступні співвідношення:
(1.22)
(1.23)
Покажемо тепер, що якщо матрична гра не має сідлової точки в чистих стратегіях, то ці нерівності повинні перетворюватися на рівності:
(1.24)
У насправді. Нехай гра не має сідлової точки в чистих стратегіях, тоді оптимальні значення змішаних стратегій задовольняють нерівностям
lt; lt; 1, 0 lt; lt; 1,
lt; lt; 1, 0 1. (1.25)
Припустимо, що обидві нерівності з (1.22) будуть строгими
тоді згідно теоремі повинно у 1=у 2=0, що суперечить умовам (1.25).
Аналогічно доводиться, що обидві нерівності з (1.23) не можуть бути строгими нерівностями. [2]
Припустимо тепер, що одна з нерівностей (1.22) може бути строгим, наприклад перший
(1.26)
Це означає, що згідно теоремі у 1=0, у 2=1. Отже, з (1.23) отримуємо
(1.27)
Якщо обидві нерівності (1.24) строгі, то теоремі повинно х 1=х 2=0, що суперечить (1.25). Якщо ж а 12 а 22, то одна з нерівностей (1.27) суворе, а інше - рівність. Причому рівність буде виконуватися для більшого елемента з а 12 і а 22, т. Е. Одне нерівність з (1.27) повинно бути строгим. Наприклад а 12 lt; а 22. Тоді справедливо а 12 lt; v, а це рівнозначно тому, що перша нерівність з (1.24) суворе. Тоді згідно теоремі повинно х 1=0, що суперечить умові (1.25). Якщо а 12=а 22, то обидві нерівності (1.27) перетворюються в рівності і тоді можна покласти х 1=0, що суперечить (1.25). Отже, припущення про те, що перша нерівність з (1.22) може бути строгим, не справедливо. Аналогічно можна показати, що друга нерівність з (1.22) також не може бути строгим.
Таким чином показано, що якщо матрична гра не має сідлової точки в чистих стратегіях, то для оптимальних стратегій першого гравця нерівності (1.22) перетворюються в рівності. Аналогічні міркування щодо нерівностей (1.23) приведуть до того, що в цьому випадку нерівності (1.23) повинні бути равенствами.
Отже, якщо матрична гра порядка 2 2 цієї статті не має сідлової точки, то оптимальні змішані стратегії гравців і ціну гри можна визначити, вирішивши систему рівнянь (1.24). Встановлено також, що якщо в матричної грі порядку 2x2 один з гравців має оптимальну чисту стратегію, то й інший гравець також має оптимальну чисту стратегію.
Отже, якщо матрична гра не має сідлової точки в чистих стратегіях, то вона повинна мати рішення в змішаних стратегіях, які визначаються з рівнянь (1.24). Рішення системи (1.25) [2]
,, (1.28)
,,
. (1.29)
. 4 Алгебраїчний метод
Можливі два випадки для вирішення завдань алгебраїчним методом:
. матриця має сідлову точку;
. матриця не має сідлову точку. [1]
У першому випадку рішення - це пара стратегій, що утворюють сідлову точку гри. Розглянемо другий випадок. Рішення тут слід шукати в змішаних стратегіях:
Знайдемо стратегії...
