у В і існує
? =(1.9)
тоді? =?.
Доказ. З визначення мінімуму і максимуму випливає, що
f (x, у) (1.10)
Або
. (1.11)
Оскільки в лівій частині (1.11) х будь-яке, то
. (1.12)
У правій частині нерівності (1.12) у будь-яке, тому
(1.13)
що потрібно було довести. [2]
Зокрема, матриця () є окремий випадок функції f (х, у), т. е. якщо покласти х=i, у=j,=f (х, у), то з теореми 1 отримаємо, що нижня чиста ціна не перевершує верхню чисту ціну гри в матричної грі.
Визначення. Нехай f (х, у) дійсна функція двох змінних х А і у В. Точка (х 0, у 0) називається седловой для функції f (х, у), якщо виконуються наступні нерівності
f (х, у 0) f (х 0, у 0) f (х 0, у) (1.14)
за будь-яких х А і у В.
. 2 Оптимальні змішані стратегії та їх властивості
Дослідження матричної гри починається з знаходження її седловой точки в чистих стратегіях. Якщо матрична гра має сідлову точку в чистих стратегіях, то знаходженням цієї точки закінчується дослідження гри. Якщо ж у матричної грі немає седловой точки в чистих стратегіях, то можна знайти нижню і верхню чисті ціни цієї гри, які вказують, що перший гравець не повинен сподіватися на виграш більший, ніж верхня ціна гри, і може бути впевнений в отриманні виграшу не менше нижньої ціни гри. Такі рекомендації щодо поведінки гравців у матричної грі без сідлової точки в чистих стратегіях не можуть задовольняти дослідників і практичних працівників. Поліпшення рішень матричних ігор слід шукати у використанні секретності застосування чистих стратегій і можливості багаторазового повторення ігор у вигляді партій. Так, наприклад, проводиться серія ігор в шахи, шашки, футбол, і кожен раз гравці застосовують свої стратегії таким чином, що їх противники не здогадуються про їх зміст, і на цьому шляху в середньому досягають певних виграшів, зігравши всю серію партій. Ці виграші в середньому більше нижньої ціни гри і менше верхньої ціни гри. Чим більше це середнє значення, тим краще стратегії застосовує гравець. Тому виникла ідея застосовувати чисті стратегії випадково, з певною ймовірністю. Це повністю забезпечує таємність їх застосування. Кожен гравець може змінювати ймовірності застосування своїх чистих стратегій таким чином, щоб максимально збільшити свій середній виграш і на цьому шляху отримувати оптимальні стратегії. Така ідея привела до поняття змішаної стратегії. [2]
Визначення. Змішаною стратегією гравця називається повний набір ймовірностей застосування його чистих стратегій.
Таким чином, якщо перший гравець має т чистих стратегій 1, 2, ... i, ... m, то його змішана стратегія х - це набір чисел х=(х 1, х 2, ..., х i, ..., х т) задовольняють співвідношенням
xi 0 (i=1, 2, ..., т),=1. (1.15)
Аналогічно для другого гравця, який має п чистих стратегій, змішана стратегія у - це набір чисел у=(у 1, ..., у j, ... у n), що задовольняють співвідношенням
yj 0 (j=1, 2, ..., n),=1. (1.16)
Так як кожен раз застосування гравцем однієї чистої стратегії виключає застосування іншої, то чисті стратегії є несумісними подіями. Крім того, вони є єдино можливими подіями.
Очевидно, чиста стратегія є окремий випадок змішаної стратегії. Дійсно, якщо в змішаній стратегії якась i-я чиста стратегія застосовується з імовірністю одиниця, то всі інші чисті стратегії не застосовуються. І ця i-я чиста стратегія є окремим випадком змішаної стратегії. Для дотримання таємності кожен гравець застосовує свої стратегії незалежно від вибору іншого гравця. [2]
Визначення. Середній виграш першого гравця в матричної грі з матрицею А виражається у вигляді математичного очікування його виграшів
Е (А, х, у)=(1.20)
Очевидно, середній виграш першого гравця є функція двох наборів змінних х та у. Перший гравець має на меті за рахунок зміни своїх змішаних стратегій х максимально збільшити свій середній виграш Е (А, х, у), а другий - за рахунок своїх змішаних стратегій прагне зробити Е (А, х, у) мінімальним, т. E. для вирішення гри необхідно знайти такі х, у, при яких досягається верхня ціна гри.
. 3 Гра порядка 2 2
Матрична гра порядка 2 2 Визначте наступне матрицею виграшів першого гравця:
...
